1-13 梯度检验

梯度检验（ Gradient checking）

梯度检验有助于发现 backprop 实施过程中的 bug。
假设你的网络中的参数：${{\rm{W}}^{[1]}},{b^{[1]}}......{W^{[l]}},{b^{[l]}}$，为了执行梯度检验，首先要做的就是，把所有参数转换成一个巨大的向量数据用$\theta$表示，则：
$J({{\rm{W}}^{[1]}},{b^{[1]}}......{W^{[l]}},{b^{[l]}}) = J(\theta )$
同样${\rm{d}}{{\rm{W}}^{[1]}},d{b^{[1]}}......d{W^{[l]}},d{b^{[l]}}$可以转换成一个向量使用$d\theta$表示，它与 $\theta$具有相同的维度。
J是超参数$\theta$的一个函数，为了实施梯度检验，你要做的就是循环执行，从而对每个 i也就是对每个$\theta$组成元素计算$d{\theta _{approx}}[i]$，我使用双边误差，也就是：
$d{\theta _{approx}}[i] = \frac{{J({\theta _1},{\theta _2},...{\theta _i} + \varepsilon ) - J({\theta _1},{\theta _2},...{\theta _i} - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}$
只对${{\theta _i}}$增加$\varepsilon$其它项保持不变，因为我们使用的是双边误差，对另一边做同样的操作，只不过是减去 $\varepsilon$，$\theta$其它项全都保持不变。
$d{\theta _{approx}}[i]$的值应该逼近 $d\theta [i] = \frac{{\partial J}}{{\partial {\theta _i}}}$，$d\theta [i]$是代价函数的偏导数，然后你需要对 i的每个值都执行这个运算，最后得到两个向量，得到 $d\theta$的逼近值 $d{\theta _{approx}}$。
 $d\theta$，$d{\theta _{approx}}$，$\theta$具有相同维度，你要做的就是验证这些向量是否彼此接近 。

检查：
$\frac{{{{\left\| {d{\theta _{approx}} - d\theta } \right\|}_2}}}{{{{\left\| {d{\theta _{approx}}} \right\|}_2} + {{\left\| {d\theta } \right\|}_2}}}$
$\varepsilon$可能为 ${10^{ - 7}}$使用这个取值范围内的$\varepsilon$如果你发现计算方程式得到的值为 ${10^{ - 7}}$ 或更小，这就很好，这就意味着导数逼近很有可能是正确的，它的值非常小。
如果它的值在  ${10^{ - 5}}$范围内，我就要小心了，也许这个值没问题，但我会再次检查这个向量的所有项，确保没有一项误差过大，可能这里有 bug。
如果这个方程式结果是  ${10^{ - 3}}$我就会担心是否存在 bug，计算结果应该比${10^{ - 3}}$ 小很多。这时应该仔细检查所有i值，使得$d{\theta _{approx}}[i]$与 $d\theta [i]$大不相同，并用它来追踪一些求导计算是否正确。
在实施神经网络时，我经常需要执行 foreprop 和 backprop，然后我可能发现这个梯度检验有一个相对较大的值，我会怀疑存在 bug，然后开始调试，调试，调试，调试一段时间后，我得到一个很小的梯度检验值，现在我可以很自信的说，神经网络实施是正确的。