新高考 I 卷 19 题

(1) 四个数必然相邻，答案为 \((1,6) (1,2) (5,6)\)

(2) \((a_1,a_4,a_7,a_{10}) , (a_3,a_6,a_9,a_{12}) , (a_5,a_8,a_{11},a_{14}) , (a_{4k-1},a_{4k},a_{4k+1},a_{4k+2})(k \geq 4) \)
(3) 考虑总共方案数为 \(C(4m+2,2) = (4m+2) * (4m+1) / 2 = (8m^2 + 6m + 1)\) 种方案

　　我们考虑比较正常的情况，即划分出的每段长度都是 \(4\) 的倍数，那么此时对于一个 \(i = 4k+1\) ，\(j\) 的选择方案显然有 \(m - i + 1\) 种，然后答案即为 \(\sum_{i=0}^m (m-i+1) = (m+1) * (m+2) / 2 = (m^2 / 2 + 3 / 2m + 1)\) 种

　　然后我们注意到一个性质，如果一个区间可以被这么划分，然后它前后长度只要满足是 \(4\) 的倍数就可以划分

　　考虑 \(1/8\) 的限制，我们只需证明 答案 > \(m^2 + 3/4 m + 1/8\) 即可。

　　我们刚才证明了二次项的 \(1/2\) ,我们再考虑找到一个贡献二次项的（一次项和常数项都足够了）

　　考虑 \(m = 1,2\) 的时候第一个条件足够了。

　　然后这里我们考虑第二问告诉了我们什么，第二问证明了 \((2,13)\) 是可分的，观察得 \((2,9)\) 也是可分的（奇数和偶数分开划分）。

　　对于 \([1,4k+2] (k \ge 2)\) 这类我们断言 \((2,4k+1)\) 总是可分的

　　首先，考虑划分成 \(k\) 组，然后观察到会有五行，最后一行第二个有数，第一行第二个没数，其余每列都为四个，因此合法。

　　综上，我们证明了 \(i=4k+2\) (前 \(4k\) 个可划分），j 有 \(\frac {4m+2-4k-2} {4} = m-k\) 种选法，即 \(\sum_{k=1} ^ m (m-k) = \frac {m \times (m-1)} {2} = \frac {m^2-m} {2}\)

　　加起来，我们证明了 \(ans \geq m^2 + m + 1 > m^2 + \frac {3}{4} m + \frac {1} {8} (m \geq 3)\)

　　综上，我们证明了 \(p_m = \frac {ans} {C(4m+2,2)} > \frac {1}{8}\)