旋转的数学表达：欧拉角、轴向角、四元数与矩阵

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　　数学，是人类对客观世界中数量关系和空间形式本质特征进行研究的科学。对同样的某一特征或者关系，可以根据需求用不同的数学符号、定义和过程来表达。在游戏引擎中，我们也有很多这样的例子，比如本文说到的旋转。

 

欧拉角

　　旋转是一个过程，一个物体围绕周或者点角度变化的过程。为了描述这个过程我们必须有参照物，于是我们先定义一个世界坐标系，笛卡尔坐标系。

　　　　　　

　　欧拉角用（x, y, z) 分别来表示这个物体相对三个坐标系的夹角，这是由数学家欧拉首先提出而得名的。　

　   　　　　　　

　　然而仅仅有（x, y, z) 来表示旋转是不够的，还有两个因素：

　　首先是旋转顺序，从各个轴上进行角度旋转时xyz先后的不同会得到不同的结果。我们称这个顺序定义为顺规，下面一段是维基百科的定义：
　　在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别的欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学、核子物理学、粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；
　　按(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)轴序列旋转，即第一个旋转轴和最后一个旋转轴相同，我们称之为经典欧拉角（Proper Euler Angle）。
　　按(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)轴序列旋转，即三个不同的轴，我们称之为泰特布莱恩角（Tait–Bryan angles）。

　　其次是旋转的参照坐标系，欧拉角按旋转的坐标系分为：
　　内旋（intrinsic rotation）即按照物体本身的坐标系进行旋转，坐标系会跟随旋转与世界坐标系产生偏移。
　　外旋（extrinsic rotation）即根据世界坐标系进行旋转。
　　这是我们看看Unity3d中Transform的Rotate，最后一个参数即坐标系：　　

public void Rotate(Vector3 eulerAngles, Space relativeTo = Space.Self);

 　　注意：Unity3d使用的是zxy的顺规，且进行一次欧拉旋转的zxy依次执行过程中，相对轴始终是运算开始之前的轴向。

 

万向节死锁（Gimbal Lock）

　　注意我们前面提到的旋转的规则 [ 进行一次欧拉旋转的zxy依次执行过程中，相对轴始终是运算开始之前的轴向 ]

　　在这个规则下，zxy顺规时，如果x的旋转为90度，那么任意的（z,90,y）都与（z-y,90,0）得到的结果都是相同的，此时我们称z轴失去了自由度，并称这种情况为万向节死锁。之所以叫Gimbal Lock，是因为这种情况正好和Gimbal，即陀螺仪的情况是完美匹配的，死锁情况也相同。具体情况这篇文章写的很好，大家可以看一下：https://blog.csdn.net/andrewfan/article/details/60981437

       　　　　  

　　这种情况下，物体的某一个旋转，会有多个欧拉角数值与其多对一的对应，那么对欧拉角进行插值是没有意义的。如果只旋转一个轴，其他轴不动，那么直接设置欧拉角的数值倒是没有什么问题。

　　同时我们也不难得出死锁的原因并不是由顺规决定的，而是由于欧拉角的原理和计算方式，一个轴的旋转必然带来另外轴的旋转所导致的。

轴向角

　　这时候，又有了一个思路，我们可以使用基于一个单位矢量来表示方向，再用一个标量来定义绕这个矢量来旋转多少角度theta。

　　即[x,y,z,theta]，前面的xyz表示这个矢量，最后一个表示角度。这个表示方法很简洁明了，容易理解。

　　　　　　

　　缺点有两个：

　　1.不同的轴角之间不能进行简单的插值。

　　2.不好基于一个矢量加上一个轴角形式的旋转来进行运算。

　　为了解决这些缺点，先人们又发明了使用四元数和矩阵来表达旋转。

 

四元数

　　这里先说一下基本原理：

　　参考链接：https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/

　　译文：https://blog.csdn.net/lhs322/article/details/80066960

　　四元数的概念是由爱尔兰数学家汉密尔顿发明的，他当时正和老婆一起前往爱尔兰皇家研究院，一边走一边想，路过一座桥时，他顿悟了公式，并立刻把它刻在桥上的石头上：

　　　　 

 　　那么，为什么四元数能表示三维空间的旋转呢？首先学过高数我们都知道复数的定义以及几何意义，复数可以映射到复数平面上，并且对这复数乘以i，得到的复数就相当于复数空间里旋转了90度。

　　 例如下图，p = 2 + i，乘以i后： q = pi = (2+i)*i = 2i + i*i = 2i - 1 = -1 + 2i。可以看出q逆时针旋转了90度。同理乘以-i即为正时针旋转90度。

  　　　　

　　此时将复数的虚部扩展为三个，并根据汉密尔顿的著名表达式以及推论

　　　

　　

　　四元数的定义可以用来表达笛卡尔坐标系的旋转，其中i,j,k分别代表笛卡尔坐标系里xyz三个轴的单位向量。这些表达式里 ij = k 是不是很眼熟？两个互相垂直的单位向量的叉乘等于垂直于两个向量的单位向量。

　　　

 　　经过一系列的推导和运算（略），大家感兴趣可以看上面的链接，假设一个旋转的基准向量是（A,B,C)，角度是 θ （theta），那么表达这个旋转过程的四元数如下：　　

　　

　　注意ABC本质上就是基准向量在3个笛卡尔轴上的分量，用来准确描述向量，上面的公式也就是

四元数 q = [cos(θ/2), sin(θ/2)* v‘]; 
即：
w = cos(θ/2)    
x  = A * sin(θ/2)    
y  = B * sin(θ/2)    
z  = C * sin(θ/2)  

　　假设有一个向量v要进行旋转，这个旋转描述为q，那么结果是 v' = qvq-1， 如果要进行多次旋转，则表示为：

　　

　　四元数的乘法是：

q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k

　　可以看到，通过一系列的数学推导和定义，可以只用4个浮点数就来表达一个旋转过程，并且可以方便简单的快速计算旋转的叠加。这对于游戏引擎来说是非常有意义的，可以加快运算速度。

　　四元数还有很多具体的特性，计算规则等，感兴趣的可以去研究，本文主要讨论旋转，这里不再赘诉。　　

　　【球形插值】

　　四元数还可以实现球形插值，制定两个旋转qa到qb，时间间隔为t，那么此刻的旋转插值为：

　　

　　其中θ为两个旋转之间的夹角：

　　

　　球面插值可以在游戏里实现很平滑的转向和球面运动。

四元数与欧拉角之间的转换

　　已知欧拉角，求四元数：

　　

　　已知四元素，求欧拉角

　　

用矩阵来计算旋转

 　　学过矩阵乘法我们都知道，如果把向量看成一个列矩阵，那么与向量维度相同的列数的矩阵乘以它，得到的结果也是一个列矩阵，即：

　　

　　所以可以充分利用左边矩阵的内容，对右边的向量进行各种变换（包括平移，缩放，旋转等等），这里我们只讨论旋转。

　　具体推导过程参考这里:https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

　　假设一个向量V（Vx,Vy, Vz) 绕另外一个轴角（nx, ny, nz, θ）进行旋转，那么旋转结果V'是：

　　

　　这个公式我们称之为罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)，用矩阵计算旋转在游戏图形渲染里非常普遍，不过引擎里一般为了兼容更多的向量变换，都使用了其次矩阵，即多一个维度的矩阵，本文不表。

 小结

　　总结完这几种在常见的表达旋转的数学方式，可以看到游戏引擎里也都使用到这些表达方法，感觉收益匪浅，后面准备讨论一下齐次矩阵和矩阵变换的原理。