在一篇博客GAN网络从入门教程（一）之GAN网络介绍中，简单的对GAN网络进行了一些介绍，介绍了其是什么，然后大概的流程是什么。
在这篇博客中，主要是介绍其数学公式，以及其算法流程。当然数学公式只是简单的介绍，并不会设计很复杂的公式推导。如果想详细的了解GAN网络的原理，推荐去看李宏毅老师的课程。B站和Youtube上面都有。
概率分布
生成器
首先我们是可以知道真实图片的分布函数\(p_{data}(x)\)，同时我们把假的图片也看成一个概率分布，称之为\(p_g = (x,\theta)\)。那么我们的目标是什么呢？我们的目标就是使得\(p_g(x,\theta)\)尽量的去逼近\(p_{data}(x)\)。在GAN中，我们使用神经网络去逼近\(p_g = (x,\theta)\)。
在生成器中，我们有如下模型：
其中\(z \sim P_{z}(z)\)，因此\(G(z)\)也是一个针对于\(z\)概率密度分布函数。
判别器
针对于判别器，我们有\(D(x,\theta)\)，其代表某一张z图片\(x\)为真的概率。
目标函数
在Generative Adversarial Nets论文中给出了以下的目标函数，也就是GAN网络需要优化的东西。
\[\begin{equation}\min _{G} \max _{D} V(D, G)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x})]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}
\]
公式看起来很复杂，但是我们分开来看还是比较简单的。
\(D^*\)
\(D\)网络的目标是什么？能够辨别真假，也就是说，给定一张真的图片\(x\)，\(D\)网络能够给出一个高分，也就是\(D(x)\)尽量大一点。而针对于生成器\(G\)生成的图片\(G(z)\)，我们希望判别器\(D\)尽量给低分，也就是\(D(G(z))\)尽量的小一点。因此\(D\)网络的目标函数如下所示：
\[\begin{equation}\max _{D} V(D, G)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x})]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}
\]
在目标函数中，\(x\)代表的是真实数据（也就是真的图片），\(G(z)\)代表的是生成器生成的图片。
\(G^*\)
\(G\)网络的目标就是使得\(D(G(z))\)尽量得高分，因此其目标函数可以写成：
\[\begin{equation}\max _{G} V(D, G)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}
\]
\(D(G(z))\)尽量得高分（分数在\([0,1]\)之间），等价于\(1 - D(G(z))\)尽量的低分，因此，上述目标函数等价于：
\[\begin{equation}\min _{G} V(D, G)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}
\]
因此我们优化\(D^*\)和优化\(G^*\)结合起来，也就是变成了论文中的目标函数：
\[\begin{equation}\min _{G} \max _{D} V(D, G)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x})]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}
\]
证明存在全局最优解
上面的公式看起来很合理，但是如果不存在最优解的话，一切也都是无用功。
D最优解
首先，我们固定G，来优化D，目标函数为：
\(\begin{equation} V(G, D)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x})]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z})))]\end{equation}\)
我们可以写做：
\[\begin{equation}\begin{aligned}
V(G, D) &=\int_{\boldsymbol{x}} p_{\text {data }}(\boldsymbol{x}) \log (D(\boldsymbol{x})) d x+\int_{\boldsymbol{z}} p_{\boldsymbol{z}}(\boldsymbol{z}) \log (1-D(g(\boldsymbol{z}))) d z \\
&=\int_{\boldsymbol{x}} [ p_{\text {data }}(\boldsymbol{x}) \log (D(\boldsymbol{x}))+p_{g}(\boldsymbol{x}) \log (1-D(\boldsymbol{x}))] d x
\end{aligned}\end{equation}
\]
我们设（\(D\)代表\(D(x)\)，可以代表任何函数）：
\[f(D) = P_{data}(x) log D + P_G(x)log(1-D)
\]
对于每一个固定的\(x\)而言，为了使\(V\)最大，我们当然是希望\(f(D)\)越大越好，这样积分后的值也就越大。因为固定了\(G\)，因此\(p_g(x)\)是固定的，而\(P_{data}\)是客观存在的，则值也是固定的。我们对\(f(D)\)求导，然后令\(f'(D) = 0\)，可得：
\[\begin{equation}D^{*}=\frac{P_{d a t a}(x)}{P_{d a t a}(x)+P_{G}(x)}\end{equation}
\]
下图表示了，给定三个不同的 \(G1，G3，G3\) 分别求得的令 \(V(G,D)\)最大的那个$ D^∗\(，横轴代表了\)P_{data}$，蓝色曲线代表了可能的 \(P_G\)，绿色的距离代表了 \(V(G,D)\)：
G最优解
同理，我们可以求\(\underset{D}{max}\ V(G,D)\)，我们将前面的得到的\(D^{*}=\frac{P_{d a t a}(x)}{P_{d a t a}(x)+P_{G}(x)}\)带入可得：
\[% <![CDATA[
\begin{align}
& \underset{D}{min}\ V(G,D) \\
& = V(G,D^{* })\\
& = E_{x \sim P_{data} } \left [\ log\ D^{* }(x) \ \right ] + E_{x \sim P_{G} } \left [\ log\ (1-D^{* }(x)) \ \right ] \\
& = E_{x \sim P_{data} } \left [\ log\ \frac{P_{data}(x)}{P_{data}(x)+P_G(x)} \ \right ] + E_{x \sim P_{G} } \left [\ log\ \frac{P_{G}(x)}{P_{data}(x)+P_G(x)} \ \right ]\\
& = \int_{x} P_{data}(x) log \frac{P_{data}(x)}{P_{data}(x)+P_G(x)} dx+ \int_{x} P_G(x)log(\frac{P_{G}(x)}{P_{data}(x)+P_G(x)})dx \\
& = \int_{x} P_{data}(x) log \frac{\frac{1}{2}P_{data}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx+ \int_{x} P_{G}(x) log \frac{\frac{1}{2}P_{G}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx \\
& = \int_{x}P_{data}(x)\left ( log \frac{1}{2}+log \frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } \right ) dx \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \int_{x}P_{G}(x)\left ( log \frac{1}{2}+log \frac{P_{G}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } \right ) dx \\
& = \int_{x}P_{data}(x) log \frac{1}{2} dx + \int_{x}P_{data}(x) log \frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \int_{x}P_{G}(x) log \frac{1}{2} dx + \int_{x}P_{G}(x) log \frac{P_{G}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx \\
& = 2 log \frac{1}{2} + \int_{x}P_{data}(x) log \frac{P_{data}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx + \int_{x}P_{G}(x) log \frac{P_{G}(x)}{\frac{P_{data}(x)+P_G(x)}{2} } dx\\
& = 2 log \frac{1}{2} + 2 \times \left [ \frac{1}{2} KL\left( P_{data}(x) || \frac{P_{data}(x)+P_{G}(x)}{2}\right )\right ] \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2 \times \left [ \frac{1}{2} KL\left( P_{G}(x) || \frac{P_{data}(x)+P_{G}(x)}{2}\right )\right ] \\
& = -2 log 2 + 2 JSD \left ( P_{data}(x) || P_G(x) \right)
\end{align} %]]>
\]
其中\(JSD ( P_{data}(x) || P_G(x))\)的取值范围是从 \(0\)到\(log2\)，其中当\(P_{data} = P_G\)是，\(JSD\)取最小值0。也就是说$ V(G,D)$的取值范围是\(0\)到\(-2log2\)，也就是说$ V(G,D)\(存在最小值，且此时\)P_{data} = P_G$。
算法流程
上述我们从理论上讨论了全局最优值的可行性，但实际上样本空间是无穷大的，也就是我们没办法获得它的真实期望（\(\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}\)和\(\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p_{\boldsymbol{z}}}(\boldsymbol{z})\)是未知的），因此我们使用估测的方法来进行。
\[\tilde V = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} log D(x^i) + \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} log (1-D(\tilde x^i))
\]
算法流程图如下所示（来自生成对抗网络——原理解释和数学推导）：
总结
上述便是GAN网络的数学原理，以及推导流程还有算法。我也是刚开始学，参考了如下的博客，其中生成对抗网络——原理解释和数学推导非常值得一看，里面非常详细的对GAN进行了推导，同时，bilibili——【机器学习】白板推导系列(三十一) ～ 生成对抗网络(GAN)中的视频也不错，手把手白板的对公式进行了推导。如有任何问题，或文章有任何错误，欢迎在评论区下方留言。
参考
