数据挖掘入门系列教程（三点五）之决策树

数据挖掘入门系列教程（三点五）之决策树

本来还是想像以前一样，继续学习《 Python数据挖掘入门与实践 》的第三章“决策树”，但是这本书上来就直接给我怼了一大串代码，对于决策树基本上没有什么介绍，可直接把我给弄懵逼了，主要我只听过决策树还没有认真的了解过它。

这一章节主要是对决策树做一个介绍，在下一个章节，将使用决策树来进行预测分类 。

决策树（Decision Tree）介绍

Decision Tree是一类较为常见的机器学习的方法。它既可以作为分类算法，也可以作为回归算法。

如何来介绍决策树，这里举一个例子：在大学，你找女朋友的时候，心目中顺序应该是这样的（仅仅是举一个例子）：

• Q：性别要求？
• A：不是女的不要。
• Q：年龄要求？
• A：大于我3岁的不要
• Q：专业要求？
• A：非CS不要
• ……

为了更好的表示上面的这一些问题，我们可以将其画成一张树状图如下所示：

上面的这棵树就是我们找女朋友的决策过程，圆角矩形代表了判断条件，椭圆形代表了决策结果。通过性别，年龄，专业这几个属性，最终我们得出了最终的决策。而这棵树也就被称之为决策树。

大家通过上图会发现有3个东西：

• 根节点：包含样本的全集
• 内部节点：对应特征属性测试
• 叶节点：代表决策的结果

在一棵决策树中，包含了一个根节点，多个内部节点（判断条件） 和若干个叶子节点。先说叶子节点，在决策树中，叶子节点对应了决策结果，决策结果可以有多种类型（图中是yes和no，也可以为1，2，3）。内部节点和根节点对应的都是属性测试，只不过先后顺序不同。

总的来说，决策树体现的是一种“分而治之”的思想，

那么这里就有一个问题，谁来当根节点？谁又来当中间的节点？先后顺序又是怎样的？（这里先不说算法流程，从简单开始说起，然后再说算法流程）

结点的选择

首先我们需要明白根节点和中间节点是不同的，一个是统领全局的开始包含所有的样本。一个是负责局部的决策，并且随着决策树的不断的进行决策，所包含的样本逐渐属于同一个类别，即节点的“纯度”越来越高。

那么，我们如何来寻找合适根节点（也就是属性）呢？靠感觉？靠感觉当然不行，我们需要一个具体的数值来决定，很幸运，香农帮助我们做到了。

“信息熵”（information entropy）：可以度量样本集合中的“纯度”。 在信息世界，熵越高，表示蕴含越多的信息，熵越低，则信息越少。 而根节点需要包含所以的样本，则根结点的熵最大。

信息熵（Information Entropy）

设样本集合为\(D\)，第\(k\)类样本所占比例为\(p_k(k = 1,2,3,……n)\)，则集合\(D\)的信息熵为：

\[Ent(D) = - \sum_{k=1}^{n}p_klog_2p_k\\ Ent(D)越大，则D的纯度越小，也就是说集合D越混乱。 \]

现在，我们已经知道一个集合\(D\)中的信息熵是多少，那么我们如何来进行划分呢？首先，我们需要明确一个划分的标准（也就是目标），我们当然希望划分之后，划分之后的集合的熵越来越小，也就是划分后的集合越来越纯，这里我们引入信息增益这个概念。

信息增益（information gain）

下面是西瓜书中对信息增益的定义：

假设离散属性\(a\)有\(V\)个可能的取值\(\{a^1,a^2,a^3……a^V\}\)，若以属性\(a\)对样本进行划分，则有V个分支，其中第\(v\)个分支包含了\(D\)中在属性\(a\)上取值为\(a^v\)的样本，记为\(D^v\)。我们可以计算出\(D^v\)的信息熵，然后考虑到不同分支结点的样本数不同，给分支结点赋予权重\(\frac{|D^v|}{|D|}\)，样本数愈多，则影响力越大，则可以计算出属性\(a\)对样本集\(D\)进行划分的“信息增益”：

\[Gain(D,a) = Ent(D) - \sum_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) \]

一般来说，信息增益越大，则代表划分后的集合越“纯”，也就是说使用\(a\)属性来划分的效果最好，那么我们就可以使用\(a\)属性来进行划分。ID3算法就是使用信息增益来作为标准划分属性的。

决策树生成算法流程

下面是来自《西瓜书》的决策树生成算法流程：

决策树生成是一个递归的过程，在下面3中情况中，递归会返回：

• 当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分
• 当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分
• 当前结点包含的样本集合为空，不能划分

算法可能不是那么的形象好理解，下面将以实际的例子来展示。

在最上面上面的找女朋友的例子并不是特别的好，属性太少。这里以西瓜书中的🍉来进行举例。这个属性还是挺多的。

在上图中，属性的集合是{色泽，根蒂，敲声，纹理，脐部，触感}（目前不考虑编号这个属性），分类的集合是{是，否}，一共有17个样本。

首先让我们来及计算集合\(D\)的熵值。在集合\(D\)中，好瓜（是）占\(p_1 = \frac{8}{17}\)，坏瓜（否）占\(p_1 = \frac{9}{17}\)，所以集合\(D\)的熵为：

\[Ent(D) = -\sum_{k=1}^2p_klog_2p_k = -(\frac{8}{17}log_2\frac{8}{17} + \frac{9}{17}log_2\frac{9}{17}) = 0.998 \]

以色泽作为划分标准，可以得到3个子集：

\[D^1(色泽=青绿) = \{1,4,6,10,13,17\} \\ 在D^1中p_1 = \frac{3}{6}，p_2=\frac{3}{6}\\ D^2(色泽=乌黑) = \{2,3,7,8,9,15\}\\ 在D^2中p_1 = \frac{4}{6}，p_2=\frac{2}{6}\\ D^3(色泽=浅白) = \{5,11,12,14,16\}\\ 在D^2中p_1 = \frac{1}{5}，p_2=\frac{4}{5} \\ 其中集合中的数字代表表格中的编号 \]

我们可以获得\(D^1,D^2,D^3\)的信息熵：

\[Ent(D^1)=-(\frac{3}{6}log_2\frac{3}{6}+\frac{3}{6}log_2\frac{3}{6}) = 1.00 \\ Ent(D^2)=-(\frac{4}{6}log_2\frac{4}{6}+\frac{2}{6}log_2\frac{2}{6}) = 0.918 \\ Ent(D^3)=-(\frac{1}{5}log_2\frac{1}{5}+\frac{4}{5}log_2\frac{4}{5}) = 0.722 \\ \]

因此色泽的信息增益为：

\[\begin{equation} \begin{aligned} Gain(D，色泽) &= Ent(D) - \sum_{v=1}^3\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)\\ &= 0.99 - （\frac{6}{17}\times 1.00 + \frac{6}{17}\times0.918 +\frac{5}{17}\times0.722） \\ &= 0.109 \end{aligned} \end{equation} \]

同理可以得到：

\[\begin{equation} \begin{split} & Gain(D，根蒂) = 0.143；Gain(D，敲声) = 0.141；\\ & Gain(D，纹理) = 0.381；Gain(D，脐部) = 0.289； \\ & Gain(D，触感) = 0.006；Gain(D，色泽)=0.109； \end{split} \end{equation} \]

通过计算可以得到，纹理的信息增益最大，因此他被选为划分的属性如下图：

然后以纹理是“清晰为例”，该集合\(D^1=\{1,2,3,4,5,6,8,10,15\}\)，可用的属性集合为{ 色泽，根蒂，敲声，脐部， 触感}。因此，基于\(D^1\)又可以计算出各个属性的信息增益：

\[\begin{equation} \begin{split} & Gain(D^1，色泽) = 0.043；Gain(D^1，根蒂) = 0.458；\\ &Gain(D^1，敲声) = 0.331； Gain(D^1，触感) = 0.458；\\ &Gain(D^1，脐部)=0.458； \end{split} \end{equation} \]

因此我们可以在“根蒂”，“触感”，“脐部”中任意选择其中一个作为划分属性。最终得到以下的决策树：

通过上面的这些步骤，我们就得到了一颗关于西瓜的好坏的决策树。ID3算法就是用信息增益作为划分标准。

上面的例子来自西瓜书，以及计算的结果也来自西瓜书。

增益率（Gain Ratio）

在这里有一个问题，\(Gain(D，属性)\)越大，就一定能够作为划分标准吗？假如它是一个无用的属性呢？比如上图中编号这个属性，如果在上面我们选择编号作为根节点，那么第一次划分就能够得到17个集合，每一个集合只有1个样本，\(Gain(D，编号)\)必定能够达到最大值。但是我们知道，编号这个属性在这里是毫无作用的。如果将这个问题进行泛化，如果一个属性在分类中起到的作用给很小（也就是它对分类的影响很小），那么我们应该怎么考虑呢？

这里我们可以使用增益率来作为划分的标准，定义如下

\[\begin{equation} \begin{split} &Gain\_ratio(D,a) = \frac{Gain(D,a)}{IV(a)} \\ &其中\\ &IV(a) = -\sum_{v=1}^V\frac{D^v}{D}log_2\frac{D^v}{D} \end{split} \end{equation} \]

\(IV(a)\)称之为属性\(a\)的固有值(intrinsic value)，属性\(a\)的可能取值越多（划分的\(D^v\)的集合越多），\(IV(a)\)就会越大。若像编号一样进行划分（每一个划分的集合中只有一个样本），随着编号的增多，\(IV(a)\)的取值如下图：

其中著名的C4.5算法就是使用增益率来划分属性。

除了这种解决方案，还有一种解决方法，基尼指数作为划分标准，CART决策树使用这种方法。

基尼指数（Gini Index）

前面我们使用信息熵来表示集合的纯度，这里我们使用基尼值来表示：

设样本集合为\(D\)，第\(k\)类样本所占比例为\(p_k(k = 1,2,3,……n)\)

\[\begin{equation} \begin{aligned} Gini(D) &= \sum_{k=1}^{|n|}\sum_{k'\neq k}p_kp_{k'}\\ &=1 - \sum_{k=1}^{|n|}p_k^2 \end{aligned} \end{equation} \]

\(Gini(D)\) 反映了从数据集中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。因此， $Gini(D) $越大，则数据集越复杂，纯度越低。

同样，属性\(a\)的基尼指数定义为：

\[Gini\_index(D,a) = \sum_{v=1}^V\frac{D^v}{D}Gini({D^v}) \]

因此，在我们选择合适的属性进行划分的时候，选择划分后基尼指数较小的属性作为划分标准即可。

这个时候我们再来看一看这幅图，应该就看的懂了吧。

剪枝（pruning）处理

首先，我们先说一下剪枝的目的——防止“过拟合”。在决策树的学习过程中，为了保证正确性，会不断的进行划分，这样可能会导致对于训练样本能够达到一个很好的准确性，但是对于测试集可能就不是很好了，这样的模型不具备泛化性。下面来举一个例子：

我们有如下的数据集：

坐标轴的上的每一个点代表一个样本，有\(x,y\)两种属性，其中，蓝色的点代表类0，橙色的点代表类1。

当我们使用决策树进行训练后，模型对于数据的识别区域如下，在粉红色区域，其认为里面的点为类0，蓝色的区域为类1：

大家可能发现一个问题，那就是这个区域划分的太“细致”了。因为数据是有噪音(noise)的，这样划分明显是不合理的。这里大家可以看一看决策树的图片：

那么如何来缓解这种问题呢？其中有一种方法就是去掉一些分支（剪枝）来降低过拟合的风险。

剪枝有两种方案：

• 预剪枝（prepruning）
• 后剪枝（post-pruning）

预剪枝

预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点。

用通俗的话来说，就是如果进行划分能够带来更好的结果就进行划分，否则不进行划分。首先，我们定义一个训练集和一个验证集如下：（西瓜书中间的例子）

上面一部分是训练集，下面一部分是测试集。然后让我们来对训练集（记住是训练集）进行划分，划分的规则与上面的一样。

下面的这幅图是未剪枝的情况。

那么，剪枝是如何进行的呢？

首先，我们先判断“脐部”，如果我们不对“脐部”进行划分，也就是说这棵决策树是这样的：

只有一个好瓜的判断结果（根据上面的算法流程图，node节点直接就是叶子节点，其类别由样本中最多的决定【这里既可以是好瓜也可以是坏瓜，因为数量一样】）

这样下来，也就是说无论你什么瓜过来我都判断它是好瓜。使用验证集进行验证，验证的精准度为：\(\frac{3}{7} \times100\% = 42.9\%\)。如果进行划分呢？

下图便是进行划分的情况，其中被红色圆圈框出来的部分表示验证正确。

如果只划分“脐部”这个属性，我们可以通过其来划分好瓜和坏瓜，通过验证机去测试，我们可以得到划分后的准确性为：\(\frac{5}{7}\times100\%=71.4\% > 42.9\%\)，所以选择划分。

下面便是进行前剪枝后的划分结果,使用验证集进行验证，精度为\(71.4\%\)

尽管该方案可以降低过拟合的风险，并在一定程度上能够降低算法的复杂度，但也会带来欠拟合的风险。因为会出现另外一种情况：有可能当前划分不能提升泛化能力，但是在此基础上的后续的划分也许可以导致性能显著提高。

后剪枝

后剪枝则是先从训练集生成一棵完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点.

后剪枝和前剪枝的不同在于后剪枝是在生成决策树后再进行剪枝。顺序是由下到上。

我们继续来看这幅图：

通过验证集，我们易得到该决策树的识别率为\(42.9\%\)。

让我们重新看一下数据吧，数据集和验证集如下：

现在让我们来进行剪枝吧！！首先先看节点⑥，节点6中包含编号为\(\{7（好瓜）,15（坏瓜）\}\)的训练样本，因此我们将节点⑥变成叶节点并标记为“好瓜（坏瓜也ok）”。如下所示：

在这种情况下，验证集中序号为\(\{4，8，11，12\}\)验证正确，精度调高到\(\frac{4}{7} \times 100\%= 57.1\%\)，因此可以进行剪枝。

考虑结点⑤，包含编号为\(\{6，7，15\}\)，将其变成叶节点（标记为“好瓜”），使用验证集去验证，其精度仍为\(57.1\%\)，没有提高，进行考虑。同理可得到下面的这副图片：

最终，该决策树的精度为\(71.4\%\)

比较预剪枝和后剪枝，后剪枝保留的分支更多，同时后剪枝的欠拟合的风险很小，泛化性能往往优于预剪枝决策树，但是显而易见，训练的时间要比预剪枝大得多。

随机森林（Random Forest | RF）

什么是随机森林呢？随机森林是一个包含多个决策树的分类器，由很多决策树构成，不同的决策树之间没有关联。当我们进行分类任务时，森林中的每一棵决策树都会分别对样本进行判断和分类，每个决策树会得到一个自己的分类结果，决策树的分类结果中哪一个分类最多，那么随机森林就会把这个结果当做最终的结果。 （emm，少树服从多树）。好像很简单的样子，但是这里有一个问题，那就是随机森林中有多个决策树，那么，我们如何用已有的数据集去构建这么多的决策树呢？

首先我们要明白，决策树是不同的，那么训练决策树所需要的数据也不同。那么具体该如何选择呢？既然是随机森林，那么它肯定是随机的！！它的随机有两层含义：

• 样本随机：Bagging算法
• 属性随机

样本随机

样本随机使用的是Bagging算法（Bootstrap aggregating，引导聚集算法）又称之为装袋算法。算法的流程如下：

给定一个训练集大小为\(n\)的训练集\(D\)，Bagging算法从中间随机的、有放回的选出\(m\)个大小为\(n'\)的子集\(D_i\)作为新的训练集。

ps：通过以上这种取样得到的集合\(D_i\)中间可能会有重复的元素（因为是有放回的抽取元素）

属性随机

若样本有\(M\)个属性时，随机从这\(M\)个属性中选取出\(m\)个属性（无放回），满足条件\(m < M\)。

ps：在这种情况下，\(m\)个属性中是没有重复的属性的。

随机森林的优缺点

通过上面的样本随机和属性随机，我们就可以构建出很多棵不同的决策树了，然后组成一个森林，里面住着熊大和熊二，在一起快乐的生活。

优缺点的整理来自这里，基本上所有的文章都是这个说法，不同的在于文字的多少罢了！

优点

1. 它可以出来很高维度（特征很多）的数据，并且不用降维，无需做特征选择
2. 它可以判断特征的重要程度
3. 可以判断出不同特征之间的相互影响
4. 不容易过拟合
5. 训练速度比较快，容易做成并行方法
6. 实现起来比较简单
7. 对于不平衡的数据集来说，它可以平衡误差。
8. 如果有很大一部分的特征遗失，仍可以维持准确度。

缺点

1. 随机森林已经被证明在某些噪音较大的分类或回归问题上会过拟合。
2. 对于有不同取值的属性的数据，取值划分较多的属性会对随机森林产生更大的影响，所以随机森林在这种数据上产出的属性权值是不可信的

总结

决策树的概念就暂时介绍到这里了，尽管内容有点多，但是还是挺好理解的，很类似于人类的思考方式。在下一篇的博客中，将使用scikit-learn工具包，基于决策树来对数据进行分类。决策树还有很多知识和算法，但是至少我们得掌握基本的概念。

ID3	C4.5	CART
信息增益	增益率	基尼指数

参考

1. 《西瓜书》决策树——第四章
2. 维基百科：随机森林 Bagging算法