Python3解leetcode Reach a Number

问题描述：

You are standing at position 0 on an infinite number line. There is a goal at position target.

On each move, you can either go left or right. During the n-th move (starting from 1), you take n steps.

Return the minimum number of steps required to reach the destination.

Example 1:

Input: target = 3
Output: 2
Explanation:
On the first move we step from 0 to 1.
On the second step we step from 1 to 3.

 

Example 2:

Input: target = 2
Output: 3
Explanation:
On the first move we step from 0 to 1.
On the second move we step  from 1 to -1.
On the third move we step from -1 to 2.

 

Note:

• target will be a non-zero integer in the range [-10^9, 10^9].

思路：

这道题让我们从起点0开始，每次可以向数轴的左右两个方向中的任意一个走，第一步走距离1，第二步走距离2，以此类推，第n步走距离n，然后给了我们一个目标值 target，问我们最少用多少步可以到达这个值。

最开始想的是用贪婪算法来做，就是如果加上距离大于目标值的话，就减去这个距离，到是当目标值是4的话，贪婪算法会fail。

一般贪婪算法不行的话，很自然的就会想想能否用DP来做，但这道题感觉很难很难重现为子问题，因为每一步走的步数都不一样，这个步数又跟最小步数息息相关，所以很难写出状态转移方程啊，只得放弃。

其实这道题的正确解法用到了些数学知识，还有一些小 trick，首先来说说小 trick，第一个 trick 是到达 target 和 -target 的步数相同，因为数轴是对称的，只要将到达 target 的每步的距离都取反，就能到达 -target。下面来说第二个 trick，这个是解题的关键，比如说目标值是4，那么如果我们一直累加步数，直到其正好大于等于target时，有：

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

第三步加上3，得到了6，超过了目标值4，超过了的距离为2，是偶数，那么实际上我们只要将加上距离为1的时候，不加1，而是加 -1，那么此时累加和就损失了2，那么正好能到目标值4，如下：

0 - 1 = -1

-1 + 2 = 1

1 + 3 = 4

那么，我们的第二个 trick 就是，当超过目标值的差值d为偶数时，只要将第 d/2 步的距离取反，就能得到目标值，此时的步数即为到达目标值的步数。

那么，如果d为奇数时，且当前为第n步，那么我们看下一步 n+1 的奇偶，如果 n+1 为奇数，那么加上 n+1 再做差，得到的差值就为偶数了，问题解决，如果 n+1 为偶数，那么还得加上 n+2 这个奇数，才能让差值为偶数，这样就多加了两步。

那么，我们的第三个 trick 就是，可以利用求和公式，直接求出当前的n和对应的sums，在当前n和sums的基础上进行判断，这样可以大大减少前期累加的时间，提高效率

代码：

 

class Solution:
    def reachNumber(self, target: int) -> int:
        target  , sums = abs(target)  , 0
        n = int(math.sqrt(2*target)) 
        sums = ((n + 1)*n)/2

        while True:
            if sums > target:
                if (sums - target) % 2 :
                    if (n + 1) % 2:
                        return n + 1
                    else:
                        return n + 2    
                else:
                    return n
            elif sums == target: 
                return n
            n += 1
            sums += n