HDU 1565

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1565

先进行二分图黑白染色，S到黑，白到T，黑到白，问题转化成了求最大权独立集，最大点权独立集=sum-最小点权覆盖集，最小点权覆盖集等于上图最小割

具体解释：

二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。

 

    二分图最小点权覆盖

    从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

 

二分图最大点权独立集

    在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

转http://yzmduncan.iteye.com/blog/1149057

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std ;

const int INF=0xfffffff ;
struct node
{
    int s,t,cap,nxt ;
}e[400005] ;
int m,n,cnt,head[100005],level[100005],q[100005] ;
void add(int s,int t,int cap)
{
    e[cnt].s=s ;e[cnt].t=t ;e[cnt].cap=cap ;e[cnt].nxt=head[s] ;head[s]=cnt++ ;
    e[cnt].s=t ;e[cnt].t=s ;e[cnt].cap=0 ;e[cnt].nxt=head[t] ;head[t]=cnt++ ;
}
bool build(int s,int t)
{
    int front=0,rear=0 ;
    memset(level,-1,sizeof(level)) ;
    q[rear++]=s ;
    level[s]=1 ;
    while(front<rear)
    {
        int u=q[front++] ;
        for(int i=head[u] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt)
        {
            int tt=e[i].t ;
            if(level[tt]==-1 && e[i].cap>0)
            {
                level[tt]=level[u]+1 ;
                if(tt==t)return true ;
                q[rear++]=tt ;
            }
        }
    }
    return false ;
}
int find(int s,int t,int flow)
{
    if(s==t)return flow ;
    int ret=0,a ;
    for(int i=head[s] ;i!=-1 ;i=e[i].nxt)
    {
        int tt=e[i].t ;
        if(level[tt]==level[s]+1 && e[i].cap>0)
        {
            a=find(tt,t,min(e[i].cap,flow-ret)) ;
            e[i].cap-=a ;
            e[i^1].cap+=a ;
            ret+=a ;
            if(ret==flow)
                return ret ;
        }
    }
    if(!ret)level[s]=-1 ;
    return ret ;
}
int dinic(int s,int t)
{
    int flow,ret=0 ;
    while(build(s,t))
        while(flow=find(s,t,INF))
            ret+=flow ;
    return ret ;
}
int Map[205][205] ;
int main()
{
    int N ;
    while(~scanf("%d",&N))
    {
        cnt=0 ;
        memset(head,-1,sizeof(head)) ;
        int S,T ; 
        int sum=0 ;
        for(int i=1 ;i<=N ;i++)
        {
            for(int j=1 ;j<=N ;j++)
            {
                scanf("%d",&Map[i][j]) ;
                sum+=Map[i][j] ;
            }
        }
        S=0 ;T=N*N+1 ;
        for(int i=1 ;i<=N ;i++)
        {
            for(int j=1 ;j<=N ;j++)
            {
                int num=(i-1)*N+j ;
                if((i+j)&1)
                {
                    if(i>1)add(num,num-N,INF) ;
                    if(i<N)add(num,num+N,INF) ;
                    if(j>1)add(num,num-1,INF) ;
                    if(j<N)add(num,num+1,INF) ;
                    add(S,num,Map[i][j]) ;
                }
                else add(num,T,Map[i][j]) ;
            }
        }
        printf("%d\n",sum-dinic(S,T)) ;
    }
    return 0 ;
}