洛谷 P3338 【ZJOI2014】力/BZOJ 3527 力 题解
洛谷 P3338 【ZJOI2014】力/BZOJ 3527 力 题解
题意
给定一个正整数\(n(1\leq n\leq 10^5)\),以及有\(n\)个元素的浮点数序列\(q(0<q_i<10^9)\).要求对于所有的\(i\in [1,n]\),输出
\[E_j=\sum_{i=1}^{j-1}\frac{q_i\times q_j}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^n\frac{q_i\times q_j}{(i-j)^2}
\]
注:当你输出的答案与标准答案相差不超过\(10^{-2}\)时,即视为答案正确.
题解
显然,暴力是行不通的,所以考虑使用\(FFT\)进行卷积来处理.
首先考虑序列能进行卷积所要满足的条件:
\[c_i=\sum_{j=0}^ia_j\times b_{n-j}
\]
所以我们必须要把原式变得好看一点才能进行卷积.
我们不妨令\(a_i=q_i,b_i=\frac{1}{i^2}\),那么可以对原式进行一下变形:
\[E_j=\sum_{i=1}^{j-1}\frac{q_i\times q_j}{(i-j)^2}-\sum_{i=j+1}^n\frac{q_i\times q_j}{(i-j)^2}
=\sum_{i=1}^{j-1}a_ib_{j-i}-\sum_{i=j+1}^{n}a_ib_{i-j}
\]
那么当我们令\(a_0=b_0=0\)时,不难发现将其变形为
\[\sum_{i=0}^{j}a_ib_{j-i}-\sum_{i=j}^{n}a_ib_{i-j}
\]
依然是正确的.此时前一项已经满足卷积的要求了,我们单独处理后一项.
不难证明一下变形这正确的:
\[\sum_{i=j}^{n}a_ib_{i-j}=\sum_{i=0}^{n-j}a_{i+j}b_i
\]
接下来运用反转的思想,令\(c_i=a_{n-i}\),那么可变形为
\[\sum_{i=0}^{n-j}a_{i+j}b_i=\sum_{i=0}^{n-j}c_{n-i-j}b_i
\]
这样一来,第二个式子也满足卷积的条件啦!
所以我们对\(a\)和\(b\)跑一次\(FFT\),再对\(b\)和\(c\)跑一次\(FFT\),设得到的两个序列为\(p\)和\(q\),那么答案就为\(E_j=p_j-q_{n-j}\),套上\(FFT\)的板子即可.
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define M_PI 3.141592653589793
typedef complex<long double> comp;
const int MAXN=100010;
const comp I(0,1);
int n;
comp a[MAXN*4];
comp b[MAXN*4];
inline void change(comp *f,int len)
{
for(int i=1,j=len>>1;i<len-1;i++)
{
if(i<j) swap(f[i],f[j]);
int k=len>>1;
while(j>=k)
{
j-=k;
k>>=1;
}
if(j<k) j+=k;
}
}
inline void FFT(comp *f,int len,int rev)
{
change(f,len);
for(int h=2;h<=len;h<<=1)
{
comp wn=exp(I*(long double)(2*M_PI/h*rev));
for(int i=0;i<len;i+=h)
{
comp cur(1,0);
for(int j=i;j<i+(h>>1);j++)
{
comp p=f[j],q=cur*f[j+(h>>1)];
f[j]=p+q,f[j+(h>>1)]=p-q;
cur*=wn;
}
}
}
if(rev==-1)
for(int i=0;i<len;i++) f[i]/=len;
}
comp c[MAXN*4];
int len;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
long double x;
scanf("%Lf",&x);
a[i]={x,0};
}
for(int i=1;i<n;i++) b[i]=1.0/(1.0*(long double)i*(long double)i);
for(int i=0;i<n;i++) c[i]=a[n-i];
len=1;
while(len<=2*n) len<<=1;
FFT(a,len,1),FFT(b,len,1),FFT(c,len,1);
for(int i=0;i<len;i++) c[i]*=b[i],b[i]*=a[i];
FFT(b,len,-1),FFT(c,len,-1);
for(int i=0;i<n;i++) printf("%.3Lf\n",real(b[i]-c[n-i]));
return 0;
}
后记
本人第一次做\(FFT\)练习题,感觉还算顺利(除了悄悄地看了两眼题解的解题思路)比较惨的是之前π精度不够结果居然一片红,所有点都差零点几的样子QAQ所幸后面改过来之后一边就过了吧……最后我一定要吐槽一句,数学题的\(LaTeX\)真难写……搞了半天才搞定QAQ
