ACwing2.01背包问题

题目:
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式:
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式:
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围:

\[0<N,V≤1000, 0<vi,wi≤1000 \]

输入样例:

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路:

采用闫式DP分析法、从集合角度对背包问题进行状态划分、如图所示、划分好状态代码就好写多了、最大价值数即为f[n][m]

朴素做法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int w[N], v[N];
int f[N][N];
int n, m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

---

降维度之后的写法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}