⚡第五章.树⚡

一.树的各类定义

示意图

树中一个节点的孩子个数称为该节点的度，树中节点的最大度数称为树的度

二.树的性质

三.节点和度的关系

一.两个特殊的二叉树：

【1】满二叉树

一棵高度为h，且含有2^h-1个节点的二叉树成为'满二叉树'，每层都含有最多节点，
满二叉树的叶子结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶子结点之外的'每个节点度数均为2'

满二叉树

【2】完全二叉树

高度为h，有n个节点的二叉树，当且仅当每个节点都与高度为h的满二叉树编号为1~n的节点一一对应时
，称为'完全二叉树'

完全二叉树

特点：

[1]

若i<向下取整[n/2]，则节点i为分支节点，否则为叶子节点

[2]

叶子节点只可能在层次最大的两层上出现，对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层的最左边的位置上

[3]

若有度为1的节点，则只可能有一个，且该节点只有左孩子而无右孩子

[4]

若n为'奇数'，则每个分支节点'都有左孩子和右孩子'
若n为'偶数'，则编号最大的分支节点(编号为n/2)'只有左孩子，没有右孩子'，
其余分支节点左右孩子都有。

【3】二叉排序树

'左子树'上的所有节点的关键字均小于根节点的关键字
'右子树'上的所有节点的关键字均大于根节点的关键字，
左右子树又各是一科二叉排序树

【4】平衡二叉树

树上任一节点的左子树和右子树的深度差'不超过1'

二.二叉树的性质

/1\

非空二叉树上的叶子结点等于'度为2的节点'数加一，即N0=N2+1

/2\

非空二叉树上的第K层上至多有2^(k-1)个节点

/3\

高度为h的二叉树至多有(2^h)-1个节点

/4\

具有n个结点的完全二叉树的高度为向上取整[log2(n+1)] (注:是以2为底的对数)

三.二叉树的存储结构

四.二叉树找两个节点的公共祖先

ElemType CommAncerster(SqTree T,int i,int j){
	if(T[i]!='#' && T[j]!='#'){		//存在
		while(i != j){
			if(i > j){
			   i = i/2;		//向上找i的祖先
			}else{
			   j = j/2;	//向上找j的祖先
			}
		}
		return T[i];
	}
}

五.二叉树的遍历

遍历序列构造二叉树:先+中；后+中；层序+中
先序遍历

//根-->左-->右
void PreOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
	     visit(T);		//访问根节点
             PreOrder(T->lchild);	//递归遍历左子树
	     PreOrder(T->rchild);	//递归遍历右子树
		
	}
}

中序遍历

//左-->根-->右
void InOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
	     InOrder(T->lchild);		//递归遍历左子树
	     visit(T);			//访问根节点
             InOrder(T->rchild);		//递归遍历右子树
		
	}
}

后序遍历

//左-->右-->根
void PostOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
	     PostOrder(T->lchild);	//递归遍历左子树
             PostOrder(T->rchild);	//递归遍历右子树
             visit(T);			//访问根节点
	}
}

中序非递归代码

void InOrder2(BiTree T){
	InitStack(S);
	BiTree p = T;		//p遍历指针
	while(p || IsEmpty(S)){
		if(p){
		   push(S,p);		//当前节点入栈
		   p = p->lchild;		//一直往左走
		}else{
		   pop(S,p);		//出栈并转向出栈节点的右子树
		   visit(p);		//访问出栈节点
		   p = p->rchild;		//一直往右走
		}
	}
}

先序非递归代码

void PreOrder(BiTree T){
	InitStack(S);
	BiTree p = T;		//p遍历指针
	while(p || IsEmpty(S)){
		if(p){
		   visit(p);	//访问当前结点
		   push(S,p);		//当前节点入栈
		   p = p->lchild;		//一直往左走
		}else{
		   pop(S,p);		//出栈并转向出栈节点的右子树
		   p = p->rchild;		//一直往右走
		}
	}
}

层序遍历

void LevelOrder(BiTree){
	InitQueue(Q);	//初始化的辅助队列
	BiTree p;
	EnQueue(Q,T);	 //根节点入队
	while(!Empty(Q)){
		DeQueue(Q,p);	//队头出队
		visit(p);		//访问队头
		if(p->lchild != NULL){		//左不空则入队
		   EnQueue(Q,p->lchild);
		}if(p->rchild != NULL){		//右不空则入队
		   EnQueue(Q,p->rchild);
		}
	}
}

后序非递归代码

void PostOrder(BiTree T){
	InitStack(S);
	p = T;
	r = NULL;
	 while(p || IsEmpty(S)){
	      if(p){			//走最左边
		 push(S,p);
		 p = p->lchild;
		}else{			//向右
		   GetTop(S,p);      	//读栈顶节点(非出栈)
		   if(p->rchild && p->rchild!=r){	//若右子树存在，且未被访问过
		   p = p->rchild;		//转向右
		   push(S,p);			//压入栈
		   p = p->lchild;		//再走到最左
		}else{
		   pop(S,p);		//否则弹出节点并访问
		   visit(p->data);	//将节点弹出
		   r = p;			//记录最近访问过的节点
		   p = NULL;		//节点访问完后，重置p指针
             }
	}
    }
}

六.线索二叉树

引入线索二叉树是为了加快查找节点前驱和后继的速度

规定:若'无左子树'，令'lchild'指向其'前驱结点'；若'无右子树'，令'rchild'指向其'后继节点'

示意图

中序遍历对二叉树线索化的递归算法

void InThreadTree(ThreadTree &p,ThreadTree &pre){
    if(p != NULL){
        //递归，线索化左子树
        InThreadTree(p->lchild,pre);
        if(p->lchild == NULL){     //左子树为空，建立前驱线索
            p->lchild = pre;
            p->ltag = 1;
        }
        if(pre!==NULL && pre->rchild==NULL){
            pre->rchild = p;        //建立前驱结点的后继线索
            pre->rtag = 1;
        }
        pre = p;
        InThreadTree(p->rchild,pre);  //递归，线索化右子树
    }
}