递归算法
递归
（一）简单的斐波那契数列
以下数列0 1 1 2 3 5 8 13 21 …被称为斐波纳契数列。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
输入一个整数N，请你输出这个序列的前N项。
输入格式
一个整数N。
输出格式
在一行中输出斐波那契数列的前N项，数字之间用空格隔开。
数据范围
0<N<460<N<46
输入样例：
5
输出样例：
0 1 1 2 3思路：采用递归的思路+记忆化数组的方式
#include<iostream> using namespace std; int f[50]; int dfs(int x) { if(f[x]!=0) return f[x]; if(x==1) return 0; else if(x==2||x==3) return 1; else return f[x]=dfs(x-1)+dfs(x-2); } int main() { int i,j,n; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) cout<<dfs(i)<<" "; return 0; }
（二） 递归实现指数型枚举
从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。
输入格式
输入一个整数n。
输出格式
每行输出一种方案。
同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。
对于没有选任何数的方案，输出空行。
本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。
数据范围
1≤n≤151≤n≤15
输入样例：
3
输出样例：
3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3
思路：通过一个状态数组来标记是否要挑选他，0是初始状态，1是挑选，2是不挑选，最终要遍历一遍，只要是状态为1的就输出。代码：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int n,f[20]; void dfs(int x) { if(x>n) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(f[i]==1) printf("%d ",i); } printf("\n"); return ; } f[x]=2; dfs(x+1); f[x]=0; f[x]=1; dfs(x+1); f[x]=0; } int main() { int i; cin>>n; dfs(1); return 0; }
（三）递归实现排列型枚举
把 1~n这 n个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。
输入格式
一个整数n。
输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。
首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。
其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。
数据范围
1≤n≤91≤n≤9
输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
思路：
建立两个数组，stat数组来存储数，used数组来标记是否使用过
通过递归的思想，若没有使用过则保存该数字同时标记为已使用过，若使用过则从下一个继续遍历，同时这样的操作满足字典序的要求
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int stat[11]; bool used[11]; int n; void dfs(int x) { if(x>n) { //输出符合的数字 for(int i=1;i<=n;i++) { cout<<stat[i]<<" "; } cout<<endl; } for(int i=1;i<=n;i++) { if(!used[i]) { stat[x]=i;//存储数字 used[i]=true;//设置为已使用 dfs(x+1);//往后进行遍历 //恢复原状态 stat[x]=0; used[i]=false; } } } int main() { cin>>n; dfs(1); return 0; }
（四）递归实现组合型枚举
从 1~n 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案。
输入格式
两个整数 n,m,在同一行用空格隔开。
输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。
首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。
其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如1 3 5 7排在1 3 6 8前面）。
数据范围
n>0,
0≤m≤n，
n+(n−m)≤25
输入样例：
5 3
输出样例：
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5 思路：该题和（三）很是相似，该提要求的是从n个数中挑选m个数，使其满足字典序的要求
我们应该如何做呢？
思考一下和上面那一道题有可以进行代码重用的地方，上面那道题是从n个数中都要，且不满足升序排列
而这道题的要求是从n个数中挑选m个数，保证同一行是升序排列，我们只需要在判断哪里加一行代码{!used[i]&&i>stat[x-1]}
然后遍历输出m个数即可
代码：
#include<iostream> using namespace std; int stat[50],n,m; bool used[50]; void dfs(int x) { if(x>m) { for(int i=1;i<=m;i++) cout<<stat[i]<<" "; cout<<endl; return ; } for(int i=1;i<=n;i++) { if(!used[i]&&i>stat[x-1]) { stat[x]=i; used[i]=true; dfs(x+1); stat[x]=0; used[i]=false; } } } int main() { cin>>n>>m; dfs(1); return 0; }）
（五）带分数
100100 可以表示为带分数的形式：100=3+69258/714
还可以表示为：100=82+3546/197
注意特征：带分数中，数字 1∼9分别出现且只出现一次（不包含 0）。
类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
输入格式
一个正整数。
输出格式
输出输入数字用数码 1∼9 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
数据范围
1≤N<106
输入样例1：
100
输出样例1：
11
输入样例2：
105
输出样例2：
6思路：首先我们先对结果表达式进行一下优化处理；假设n为输入的数字
n=a+b/c == n*c=a*c+b
同时a,b,c要满足包含1-9，我们应该怎么处理？
我们可以将1-9，所有的数字分成三部分，每一部分代表一个数字（a||b||c）
还是通过stat数组来存储数字，uesd数组来存储是否使用，通过cal函数来算出对应的数字
然后进行判断是否满足要求
代码：
#include<iostream> using namespace std; int n,ans; int stat[11]; bool used[11]; int cal(int l,int r) { int sum=0; for(int i=l;i<=r;i++) { sum=sum*10+stat[i]; } return sum; } void dfs(int x) { if(x==10) { for(int i=1;i<8;i++) { for(int j=i+1;j<9;j++) { int a=cal(1,i); int b=cal(i+1,j); int c=cal(j+1,9); if(a*c+b==n*c) ans++; } } return ; } for(int i=1;i<=9;i++) { if(!used[i]) { stat[x]=i; used[i]=true; dfs(x+1); stat[x]=0; used[i]=false; } } } int main() { cin>>n; dfs(1); cout<<ans<<endl; return 0; }
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2019.12.7日
