牛顿
迭代法（
Newton's method）又称为
牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是
牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上*似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的*似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附*具有*方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始*似值，过点（x0,f(x0)）做
曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次*似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次*似值。重复以上过程，得r的*似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次*似值，上式称为
牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的
牛顿法是把非线性方程线性化的一种*似方法。把f(x)在x0点附*展开成
泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的*似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
牛顿迭代法示意图
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼*的方法称之为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
最经典的迭代算法是
欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 d%a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数 。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数
{
if (a<=0 || b<=0) //预防错误
return 0;
int temp;
while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值
{
temp = a % b; //迭代关系式
a = b; //a是那个胆小鬼，始终跟在b的后面
b = temp; //b向前冲锋占领新的位置
}
return a;
}
从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b; 根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。
还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=0; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。
在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列
{
if (n < 1)//预防错误
return 0;
if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代
return 1;
int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数
{
fn = f1 + f2; //迭代关系式
f1 = f2; //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
f2 = fn;
}
return fn;
}
View Code
1 编辑本段C语言代码
2
3 double func(double x) //函数
4
5 {
6
7 return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;
8
9 }
10
11 double func1(double x) //导函数
12
13 {
14
15 return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;
16
17 }
18
19 int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数
20
21 {
22
23 double x1,x0;
24
25 int k;
26
27 x0=*x;
28
29 for(k=0;k<maxcyc;k++)
30
31 {
32
33 if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0
34
35 {
36
37 printf("迭代过程中导数为0!\n");
38
39 return 0;
40
41 }
42
43 x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算
44
45 if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件
46
47 {
48
49 *x=x1; //返回结果
50
51 return 1;
52
53 }
54
55 else //未达到结束条件
56
57 x0=x1; //准备下一次迭代
58
59 }
60
61 printf("迭代次数超过预期!\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度
62
63 return 0;
64
65 }
66
67 int main()
68
69 {
70
71 double x,precision;
72
73 int maxcyc;
74
75 printf("输入初始迭代值x0:");
76
77 scanf("%lf",&x);
78
79 printf("输入最大迭代次数:");
80
81 scanf("%d",&maxcyc);
82
83 printf("迭代要求的精度:");
84
85 scanf("%lf",&precision);
86
87 if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1
88
89 printf("该值附*的根为:%lf\n",x);
90
91 else //若函数返回值为0
92
93 printf("迭代失败!\n");
94
95 getch();
96
97 return 0;
98
99 }
100
101 编辑本段C++代码
102
103 #include<iostream>
104
105
106 #include<cmath>
107
108 using namespace std;
109
110 int main()
111
112 {
113
114 double diedai(int a,int b,int c,int d,double x);
115
116 int a,b,c,d;
117
118 double x=10000.0;
119
120 cout<<"请依次输入方程四个系数：";
121
122 cin>>a>>b>>c>>d;
123
124 x=diedai(a,b,c,d,x);
125
126 cout<<x;
127
128 return 0;
129
130 }
131
132 double diedai(int a,int b,int c,int d,double x)
133
134 {
135
136 x=x-(a*pow(x,3.0)+b*pow(x,2.0)+c*pow(x,1.0)+d)/(3*a*pow(x,2.0)+2*b*pow(x,1.0)+c);
137
138 if(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)<=0.000001)
139
140 return x;
141
142 else
143
144 return diedai(a,b,c,d,x);
145
146 }
147
148 编辑本段matlab代码
149
150 1.定义函数
151
152 function y=f(x)
153
154 y=f(x)；%函数f(x)的表达式
155
156 function y=z(x)
157
158 y=z(x)；%函数z(x)的表达式
159 2.主程序
160
161 x=X；%迭代初值
162
163 i=0；%迭代次数计算
164
165 while i<= I；%迭代次数
166
167 y=x-y(x)/z(x)；%牛顿迭代格式
168
169 if abs(y-x)>ε；%收敛判断
170
171 x=y；
172
173 else break
174
175 end
176
177 i=i+1；
178
179 end
180
181 fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'x='，x，'i='，i) %输出结果
