编辑本段斐波那契数列的定义
斐波那契数列的发明者，是
意大利数学家
列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是
比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他
撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了
印度和
阿拉伯数学理论的
欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的
阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在
埃及、
叙利亚、
希腊、
西西里和
普罗旺斯研究
数学。
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列指的是这样一个
数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的
通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用
无理数表示有理数的一个范例。）
有趣的是：这样一个完全是
自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近
黄金分割数
0.618
证明:
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
两边同时除以a[n+1]得到:
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]
若a[n+1]/a[n]的极限存在,设其极限为x,
则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x
所以x=1+1/x
即x²=x+1
所以极限是黄金分割比 .
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
从第二项开始，每个奇数项的
平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：
奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
多了的一在哪？
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的
长方形，故
作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积
确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
怎样实现呢？伪代码描述一下?
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
斐波那契数列
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的
平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、
金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏
和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为
叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
编辑本段斐波那契数列与黄金比
1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...
1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表
大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“
兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
| 经过月数 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 幼仔对数 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
| 成兔对数 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
233 |
| 总体对数 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
233 |
377 |
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利
中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
编辑本段斐波那契数列公式的推导
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的
等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
迭代法
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))
得α+β=1
αβ=-1
构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2
由式1,式2,可得
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
`````
编辑本段编程中的斐波那契数列
PB语言程序
int li_a,li_b,li_c,i
string ls_print = '~n'
li_b = 1
for i = 1 to 20
li_c = li_a + li_b
li_a = li_b
li_b = li_c
ls_print += "~n" + string(li_c)
next
messagebox("斐波那契数列","前20："+ls_print)
C语言程序
//利用循环输出前40项
#include <stdio.h>
int main()
{
long fib[41] = {0,1};
int i;
for(i=2;i<41;i++)fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
for(i=1;i<41;i++)printf("F%d==%d\n",i,fib[i]);
getch();
return 0;
}
//利用递归实现指定项输出
第n项和。（1<n<25)
#include<stdio.h>
void main()
{
long int f1,f2;
int n,i,c;
scanf("%d",&n);
f1=1;f2=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
c=i+1;
printf("%dItem=%ld %dItem=%ld ",i,f1,c,f2);
if(i%2==0)printf("\n");
f1=f1+f2;
f2=f2+f1;
}
}
//高精度斐波那契数列（3000长度的可求到第10000多项）
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[3001]={};
int b[3001]={};
int c[3001]={};
int n;
int main()
{
scanf("%d",&n);
if(n<3)
{printf("%d\n",n);
return 0;}
c[1]=2;
b[1]=1;
for(int i=1;i<=n-2;i++)
{for(int j=1;j<=3000;j++)
{a[j]=b[j];
b[j]=c[j];
c[j]=0;}
for(int j=1;j<=3000;j++)
{c[j]=c[j]+a[j]+b[j];
if(c[j]>=10)
{c[j]=c[j]-10;
c[j+1]=1;}
}
}
int i=3000;
while(c[i]==0) i--;
for(i=i;i>=1;i--)
printf("%d",c[i]);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
C#语言程序
public class Fibonacci
{
//NormRen
static void Main(string[] args)
{
int x = 0, y = 1;
for (int j = 1; j < 10; j++, y = x + y, x = y - x)
Console.Write(y + " ");
}
}
Java语言程序
public class Fibonacci
{
public static void main(String[] args)
{
int x=1,y=1;
System.out.println(x+" ");
for(int i=1;i<=20;i++)
{
System.out.println(y+" ");
y=x+y;x=y-x;
}
}
}
Java语言程序(高精度，约一秒钟计算第20000个数值) import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner s=new Scanner(标准输入);
int n=s.nextInt();
do{
cul(n);
n=s.nextInt();
}while(n>0);//当n<=0时终止
}
private static void cul(int n) {
BigIntT b=new BigIntT();
BigIntT a=new BigIntT();
b.formatBigInt("1");
a.formatBigInt("2");
if(n==1 || n==2) {
System.out.println(1);
return;
}
int i=3;
for(;i<=n;i++){
if(i%2>0)
b.add(a);
else
a.add(b);
}
BigIntT t=null;
if(i%2>0) t=b;
else t=a;
for(int j=t.getPos();j<100000;j++)
System.out.print(t.getBase(j));
System.out.println();
}
}
class BigIntT{
int max=100000;
private byte[] base=new byte[max];
private int pos=max;
public void formatBigInt(String arr){
int l=arr.length();
if(l==0) return;
int tmp=l-1;
for(int i=max-1;i>=max-l;i--){
base[i]=(byte) (arr.charAt(tmp--)-'0');
pos--;
}
}
public void add(BigIntT right) {
int bigger=this.getPos()>right.getPos()?right.getPos():this.getPos();
pos=bigger;
for(int i=max-1;i>=pos-2;i--){
int t=this.base[i]+right.getBase(i);
if(t>=10){
this.base[i]=(byte) (t%10);
this.base[i-1]+=t/10;
if(i-1<pos) pos=i-1;
}else{
this.base[i]=(byte) t;
}
}
}
public int getPos(){
return pos;
}
public byte getBase(int index){
return base[index];
}
}
JavaScript语言程序
function Fibonacci(num){
if(num <= 2){
return 1;
}else{
return Fibonacci(num - 1) + Fibonacci(num - 2)
}
}
Pascal语言程序
递推：
var
fib: array[1..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[1] := 1;
fib[2] := 1;
for i:=3 to 40 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=1 to 40 do
write(fib[i],' ');
end.
递归：
function fib(n:integer):longint;
begin
if (n=1) then exit(0);
if (n=2) then exit(1);
fib:=fib(n-2)+fib(n-1);
end;
高精度: ( 编写BY : AzraelWZJ )
program fzu1060;
type arr=array[0..1001]of integer;
var a,b,c:arr;
i,j,k,n:integer;
procedure add(var a,b,c:arr);
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
c[0]:=b[0];
for i:=1 to c[0] do
c[i]:=a[i]+b[i];
for i:=1 to c[0] do
begin
c[i+1]:=c[i+1]+(c[i] div 10);
c[i]:=c[i] mod 10;
end;
if c[c[0]+1]>0 then
begin
inc(c[0]);
inc(c[c[0]+1],c[c[0]] div 10);
c[c[0]]:=c[c[0]] mod 10;
end;
a:=b; b:=c;
end;
begin
assign(input,'d:\input.txt');
assign(output,'d:\output.txt');
reset(input);
rewrite(output);
while not eof do
begin
readln(n);
fillchar(a,sizeof(a),0);
fillchar(b,sizeof(b),0);
a[0]:=1; a[1]:=1;
b[0]:=1; b[1]:=1;
if n=1 then write(1)
else
if n=2 then write(1)
else
begin
for k:=3 to n do
add(a,b,c);
for k:=c[0] downto 1 do
write(c[k]);
end;
writeln;
end;
close(input);
close(output);
end.
以上程序为 FZU 1060 的标程.
PL/SQL程序
declare i number :=0;
j number :=1;
x number :=1;
begin
while x<1000
loop
dbms_output.put_line(x);
x:=i+j;
i:=j;
j:=x;
end loop;
end;
Python程序
# 方法一
def fibonacci(num):
if num <= 2:
f = 1
else:
f=fibonacci(num-1) + fibonacci(num - 2)
return f
# 方法二
import math
def fibonacci1(num):
f = (((math.sqrt(5) + 1)/2) ** num - ((math.sqrt(5) - 1)/2) ** num)/math.sqrt(5)
f = round(f, 1)
if f - int(f) > 0:
f = int(f) + 1
else :
f = int (f)
return f
Matlab程序
function f=fibonacci(n)
p = (1-sqrt(5))/2 ;
q = (1+sqrt(5))/2 ;
n=1:n;
f =q.^(n-2)*(1-p).*(1-(p/q).^(n-1))./(1-p/q)+p.^(n-1);
对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、…….有如下定义
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
对于以下
矩阵乘法
F(n+1) = 1 1 F(n)
F(n) 1 0 F(n-1)
它的运算就是右边的矩阵 1 1乘以矩阵 F(n) 得到：
1 0 F(n-1)
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设矩阵A=1 1 迭代n次可以的到：F(n+1) = A^(n) * F(1) = A^(n) * 1
1 0 F(n) F(0) 0
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
另矩阵乘法的一个运算法则A¬^n(n为偶数)=A^(n/2)* A^(n/2),这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。
因此可以用递归的方法求得答案。
时间效率：O(logn)，比模拟法O(n)远远高效。
代码（PASCAL）
{变量matrix是二阶方阵，matrix是矩阵的英文}
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
var
c,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
var
temp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
var
temp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procedure init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
数列值的另一种求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。
编辑本段斐波那契数列的前若干项
（1）1
（2）1
（3）2（1+1）
（4）3（1+2）
（5）5（2+3）
（6）8（3+5）
（7）13（5+8）
（8）21（8+13）
（9）34（13+21）
（10）55（21+34）
（11）89（34+55）
（12）144（55+89）
（13）233（89+144）
（14）377（144+233）
（15）610（233+377）
（16）987（377+610）
（17）1597（610+987）
（18）2584（987+1597）
（19）4181（1597+2584）
（20）6765（2584+4181）
（21）10946（4181+6765）
（22）17711（6765+10946）
（23）28657（10946+17711）
（24）46368（17711+28657）（46368÷28657=1.61803398820......）
......
斐波那契弧线，第一，此
趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以第二个点为中心画出，并在趋势线的
斐波纳契水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
要注意的是弧线的交叉点和价格
曲线会根据图表数值范围而改变因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。
斐波那契扇形线
斐波那契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。
这些线代表了支撑点和阻力点的价格水平。为了能得到一个更为精确的预报，建议和其他斐波纳契工具一起使用。
编辑本段斐波那契数列的应用
数学游戏
一位
魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是
黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
编辑本段影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《
达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
