整数拆分

题目描述：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入：

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出：

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

样例输入：

7

样例输出：

6

当N为奇数时，f(N) = f(N-1); 当N为偶数时，N的拆分可分为包含1和不包含1的情况，前者与N-1的情况相同，即与N-2的情况相同，后者最小拆分到2，将各项除以2可知与N/2的情况相同。

#include <stdio.h>

int data[1000002];

int main(void){
    int input, i;

    data[0] = data[1] = 1;
    for (i=1; i<=500000; ++i){
        data[2*i] = (data[2*i-2] + data[i]) % 1000000000;
        data[2*i+1] = data[2*i];
    }

    while (scanf ("%d", &input) != EOF){
        printf ("%d\n", data[input]);
    }

    return 0;
}

运行情况：

对上述方法进一步简化，因为奇数项等于偶数项，所以只需要一半的数组即可，但需要对输入N预先除以2，得到 f(n) = f(n-1) + f(n/2).

#include <stdio.h>
int data[500001];
int main(void){
int input, i;
    data[0] = data[1] = 1;
for (i=1; i<=500000; ++i){
        data[i] = (data[i-1] + data[i/2]) % 1000000000;
    }
while (scanf ("%d", &input) != EOF){
        printf ("%d\n", data[input/2]);
    }
return 0;
}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define DEBUG
//递归法求解整数划分
unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
{
    if(n == 1 || max == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n < max)
    {
        return GetPartitionCount(n, n);
    }
    if(n == max)
    {
        return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
    }
    else
    {
        return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
    }
}
//母函数法求整数划分
#define MAXNUM 100            //最高次数
unsigned long a[MAXNUM];
unsigned long b[MAXNUM];
unsigned long c[MAXNUM];    //保存结果
//两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM
void Poly()
{
    int i;
    int j;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        for(j = 0; j < MAXNUM - i; j++)    //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界
        {
            c[i + j] += a[i] * b[j];
        }
    }
}
//计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果
void Init(int m)
{
    int i;
    int j;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    //第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n
    for(i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        a[i] = 1;
    }
    //for(j = 2; j <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)
    //通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合
    for(j = 2; j <= m; j++)
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        //第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...
        for(i = 0; i <= MAXNUM; i += j)
        {
            b[i] = 1;
        }
        //多项式相乘:c = a * b
        Poly();
        //将结果c保存到a中
        memcpy(a, c, sizeof(c));
    }
}
//母函数方法得出整数划分相应的划分数目
//n:整数
//m:划分方法
void CalPrint(int n, int m)
{
    if(n < m)
    {
        Init(n);
        //由于n小于m，此时按n == m打印
        printf("由于n小于m，所有(%d,%d) = (%d,%d) = %ldn", n, m, n, n, c[n]);
    }
    else
    {
        Init(m);
        printf("整数划分(%d,%d)方法数目f(%d,%d) = %ldn", n, m, n, m, c[n]);
    }
}
int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
    printf("请输入要划分的整数:n");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入划分数:n");
    scanf("%d", &m);
    if(n <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    if(m <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    count = GetPartitionCount(n, m);
    printf("方法一：递归法n");
    printf("整数划分（%d,%d)的方法数为：%dnn", n, m, count);
    printf("方法二：母函数法n");
    CalPrint(n,m);
    #ifdef DEBUG
    int i = 0;
    for( i = 0; i < MAXNUM; i++)
    {
        printf("%9ld ", c[i]);
        if((i + 1) % 10 == 0)
        {
            printf("n");
        }
    }
    printf("n");
    #endif
    return 0;
}