2021蓝桥杯省赛C++A组试题E 回路计数 状态压缩DP详细版

2021蓝桥杯省赛C++A组试题E 回路计数 状态压缩DP

题目描述

蓝桥学院由21栋教学楼组成，教学楼编号1到21。对于两栋教学楼a和b，当a和b互质时，a和b之间有一条走廊直接相连，两个方向皆可通行，否则没有直接连接的走廊。
小蓝现在在第一栋教学楼，他想要访问每栋教学楼正好一次，最终回到第一栋教学楼（即走一条哈密尔顿回路)，请问他有多少种不同的访问方案?两个访问方案不同是指存在某个i，小蓝在两个访问方法中访问完教学楼i后访问了不同的教学楼。
提示:建议使用计算机编程解决问题。

解题思路

哈密尔顿回路是经典的NP难问题，暴力搜索效率太低，到后面时间非常长。采用状态压缩DP，可以在2秒左右完成遍历求解，时间可以接受。
dp数组解释：dp[i][j]表示当前正在i结点，走过的路径为j时的方案数。
状态转移方程：dp[j][S|(1<<j)]=dp[j][S|(1<<j)]+dp[i][S]
解释：从i结点转移到j结点，当前到达j结点，S为到达i结点时所走过的结点序列（二进制表示，如10101表示走过了1、 3、 5三结点，没有走过2、 4两个结点），则dp[j][S|(1<<j)]表示到达j结点时的访问方案数量。S|(1<<j)含义：S序列中第j个二进制位一定为0，因为还没有访问第j个结点，到达j节点之后，要将第j个二进制位置一。'|'和'<<'分别为按位或和左移操作。dp[i][S]为到达i结点时的不同访问方案数。即下一个结点的访问方案数为其所有前驱结点访问方案数的和。

注意：本题结果数字很大，dp数组和结果都要使用long long类型

答案

881012367360

代码实现

（关键代码已加注释）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int n=21;
bool G[n][n];//边采用邻接矩阵存储
ll dp[n][1<<n];


void generateEdge(){//生成边
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(__gcd(i,j)==1){
				G[i-1][j-1]=1;
				G[j-1][i-1]=1;
			}
		}
	}
}


int main(){
	memset(dp,0,sizeof dp);
	memset(G,0,sizeof G);
	dp[0][1]=1;//初始在0结点时，路径为000...1，方案数为1
	generateEdge();
	int m=1<<n;
	for(int S=1;S<m;S++){//遍历访问序列
		for(int i=0;i<n;i++) if(S&(1<<i))//遍历当前访问的结点，当前访问的结点其访问的序列中该二进制位必须为1
			for(int j=0;j<n;j++){//遍历下一个访问结点
				if(!(S&(1<<j))&&G[i][j])//如果j结点没有访问且i和j之间有边则状态转移
					dp[j][S|1<<j]+=dp[i][S];
			}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		ans+=dp[i][m-1];//最终的访问序列为全部访问过，即访问序列为21个1，可以从不同的结点开始访问，遍历求和
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}