凸优化概念

参考：https://www.cnblogs.com/harvey888/p/7100815.html

1、凸集

有凸集C，对任意及,都满足：

几何意义表现为：

如果集合C上的任意两个点的连线也在C集中，那么C为凸集。图形表示如下：

2、凸函数

对于集合D(f)，任意，均能满足：

由(1)中凸集的概念可知，上式的右式可以理解为凸集内的任意两个点的连线上的点。

那么上式的几何意义可以表示为：

凸集内任意两个点的连线上的点大于该点所对应的函数值，图形表示如下：

凸函数的一阶充要条件为：

其中f一阶可微

凸函数的二阶充要条件为：

其中要求f(x)二阶可微，二阶导大于0则为凸函数

按照如上定义，x^2为凸函数，-x^2为非凸函数，即开口向下的为非凸函数，对于这种情况可以在其前面加负号从而使该非凸函数转换成凸函数从而求解。

凸优化问题：

凸优化问题表现形式如下：

 

上式中f(x)为凸函数，C为凸集，x是优化变量，有的时候我们也会将上式写成如下形式：

 

上面2个式子可以解释为：第一个是目标函数为凸函数，变量集合是凸集，求优化问题；第二个是目标函数是凸函数，变量约束条件是凸函数(不等式约束)，求优化问题

 常见的凸优化问题有：

1、线性规划问题：

该问题是优化如下表达式：

2、二次规划问题

该问题是优化如下表达式

3、二次约束的二次规划问题

优化如下表达式