6.矩阵的特征和线性代数
下面介绍矩阵的一些基本操作,包括矩阵的特征值,三角阵,对角阵,矩阵的翻转等,以及矩阵的一些特性,例如矩阵的秩,矩阵的迹.最后介绍了矩阵的超越函数.
1 方阵的行列式
1 clear all; 2 A=magic(3) 3 B=[1:3;2 5 7;3 8 7] 4 y1=det(A) 5 y2=det(B)
2 特征值.特征向量和特征多项式
1 clear all; 2 A=magic(3) 3 %E是特征值 4 E=eig(A) 5 %V的每一列都是特征向量,D的对角线上是特征值 6 [V,D]=eig(A)
1 clear all; 2 %p是方程的系数 3 p=[3 5 2 1] 4 %求伴随矩阵 5 A=compan(p) 6 %求特征值,特征值就是根 7 x1=eig(A) 8 9 %用roots的方式求根 10 x2=roots(p)
3 对角阵
1 clear all; 2 A=rand(3,4) 3 %提取矩阵A的主对角线元素,产生一个列向量 4 b1=diag(A) 5 %0是主对角线,1是往上一个的对角线 6 b2=diag(A,1) 7 %提取第2条对角线的元素组成一个列向量 8 b3=diag(A,2)
4 上三角阵与下三角阵
1 clear all; 2 A=rand(3,3) 3 %上三角矩阵 4 B1=triu(A) 5 %下三角矩阵 6 B2=tril(A) 7 %右上有一个0的三角形 8 B3=tril(A,1)
5 矩阵的逆和伪逆(广义逆矩阵)
1 clear all; 2 A=magic(3) 3 %两行两列 4 B=[1 3;2 6] 5 %求矩阵A的逆矩阵 6 C=inv(A) 7 %相乘为单位矩阵 8 C*A 9 %求逆矩阵(结果不存在) 10 inv(B) 11 %求广义逆矩阵 12 D=pinv(B) 13 %相乘结果为E 14 B*D*B
6 矩阵的秩
1 clear all; 2 A=magic(3) 3 B=[1 2 4;2 3 5;2 4 8] 4 %求秩 5 r1=rank(A) 6 r2=rank(B)
7 矩阵的迹
1 clear all; 2 A=magic(3) 3 %求迹 4 t1=trace(A) 5 %矩阵的特征值 6 eig(A) 7 %矩阵特征值的和 8 t2=sum(eig(A))
8 矩阵的标准正交基
1 clear all; 2 A=[1 2 3;3 5 7;9 5 8] 3 B=magic(3) 4 %求A的标准正交基 5 C=orth(A) 6 D=orth(B) 7 %正交基的转置乘以正交基是单位向量 8 C'*C
9 LU分解
1 clear all; 2 A=[ 2 3 4;8 4 9;5 3 1] 3 %lu分解 4 [L1,U1]=lu(A) 5 %验证 6 L1*U1 7 8 %L2下三角矩阵 U2上三角矩阵 P置换矩阵 9 [L2,U2,P]=lu(A) 10 %下三角矩阵和上三角矩阵合并在矩阵Y中 11 Y1=lu(A) 12 Y2=L2+U2-eye(size(A))
10 QR分解
1 clear all; 2 A=[ 2 3 4;8 4 9;5 3 1] 3 %QR分解Q正交阵,R1上三角矩阵 4 [Q1,R1]=qr(A) 5 6 B=[1 2 3 4;3 5 6 2;3 6 9 12] 7 %正交分解 8 [Q2,R2]=qr(B) 9 Q2*R2
