机器学习降维之主成分分析

1. 主成分基本思想

主成分基本思想：在主成分分析中，首先对给定数据进行规范化，使得数据每一个变量的平均值维0，方差为1，之后对数据进行正交变换，原来由线性相关变量表示的数据，通过正交变换变成由若干个线性无关的新变量表示的数据。新变量是可能的正交变换中变量的方差的和最大的，方差表示了新变量上信息的大小，将新变量依次称为第一主成分，第二主成分等

通过主成分分析，可以利用主成分近似地表示原始数据，这可理解为发现数据的'基本结构'，也可以把数据由少数主成分表示，这可理解为数据降维

2. 总体主成分定义

$假设X = {(x_1,x_2,x_3,...,x_m)}^T是m维随机变量，其均值向量为\mu$, $$\mu = E(X) = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_m)}^T$$

$协方差矩阵是\xi$, $$\xi = cov(x_i,x_j) = E[(x_i-\mu){(x_j-\mu)}^T]$$

$考虑由m维随机变量x到m维随机变量y = {(y_1,y_2,...,y_m)}^T的线性变换$

$$y_i = a_i^TX = a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+...+a_{mi}x_m$$

其中$a_i^T = (a_{1i},a_{2i},...,a_{mi})$

由随机变量的性质可以知道：

$$E(y_i) = a_{i}^T\mu$$

$$var(y_i) = a_i^T\xi a_i$$

$$cov(y_i,y_j) = a_i^T\xi a_j$$

下面给出总体主成分的定义

定义(总体主成分):给定一个上面$y_i = a_i^TX = a_{1i}x_1+a_{2i}x_2+...+a_{mi}x_m$的线性变换，如果满足下列条件：

• (1)系数向量$a_i^T是单位向量，即a_i^T a_i = 1$
• (2)$变量y_i与y_j互不相关，即它们的协方差为0$
• (3)$变量y_1是X的所有线性变换中方差最大的;y_2是与y_1不相关的X的所有线性变换中方差最大的;$ $一般地y_i是与y_1,y_2,...,y_{i-1}都不相关的X的所有线性变换中方差最大的;$ $这时分别称y_1,y_2,...,y_m为X的第一主成分、第二主成分、...、第m主成分$

3. 样本均值和方差

假设对m维随机变量$X={(x_1,x_2,...,x_m)}^T$进行n次独立观测，$x_1,x_2,...,x_n$表示观测样本，其中$x_j={(x_{1j},x_{2j},...,x_{mj})}^T$表示第j个观测样本，$x_{ij}表示第j个观测样本的第i个变量$

给定样本矩阵X,可以估计样本均值，以及样本协方差，样本均值向量 $$\tilde x = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^nx_j$$

样本方差 $$S = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(x_{ik} - \tilde x_i)(x_{jk}-\tilde j)$$

3.1 样本方差推导

样本方差公式$$S = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_i)2 $$扩展开来得到$$ S = \frac{1}{n-1}[(X-\frac{1}{n}X^TI_nI_nT)^{T(X-\frac{1}{n}X}TI_nI_n^T)]$$

$$S = \frac{1}{n-1}X^T(I_n - \frac{1}{n}I_nI_n^T)(I_n - \frac{1}{n}I_nI_n^T)X$$

令$H = I_n - \frac{1}{n}I_nI_n^T$得 $$S = \frac{1}{n-1}X^THX$$
其中H为等幂矩阵HH=H和中心矩阵$H_n*I_n = 0$

4. PCA求解流程

• (1)数据归一化，均值为0,方差为1
• (2)计算协方差矩阵
• (3)计算协方差矩阵的特征值和特征向量
• (4)将特征值从大到小排序
• (5)保留最上面的N个特征向量
• (6)将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中

4.1 python实现PCA

def pca(dataMat, topNfeat=9999999):
    meanVals = mean(dataMat, axis=0)
    meanRemoved = dataMat - meanVals #remove mean
    covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0)
    eigVals,eigVects = linalg.eig(mat(covMat))
    eigValInd = argsort(eigVals)            #sort, sort goes smallest to largest
    eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]  #cut off unwanted dimensions
    redEigVects = eigVects[:,eigValInd]       #reorganize eig vects largest to smallest
    lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects#transform data into new dimensions
    reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals
    return lowDDataMat, reconMat

5. PCA最小平方误差理论推导

PCA求解其实是寻找最佳投影方向，即多个方向的标准正交基构成一个超平面。

理论思想：在高维空间中，我们实际上是要找到一个d维超平面，使得数据点到这个超平面的距离平方和最小

假设$x_k$表示p维空间的k个点，$z_k$表示$x_k$在超平面D上的投影向量，$W = {w_1,w_2,...,w_d}$为D维空间的标准正交基，即PCA最小平方误差理论转换为如下优化问题 $$z_k = \sum_{i=1}^d (w_i^T x_k)w_i---(1)$$

$$argmin \sum_{i=1}^k||x_k - z_k||_2^2$$

$$s.t. w_i^Tw_j = p(当i==j时p=1,否则p=0)$$

注：$w_i^Tx_k$为x_k在w_i基向量的投影长度，$w_i^Tx_kw_i$为w_i基向量的坐标值

求解：

$L = (x_k - z_k)^T(x_k-z_k)$

$L= x_k^Tx_k - x_k^Tz_k - z_k^Tx_k + z_k^Tz_k$

由于向量内积性质$x_k^Tz_k = z_k^Tx_k$

$L = x_k^Tx_k - 2x_k^Tz_k + z_k^Tz_k$

将(1)带入得$$x_k^Tz_k = \sum_{i=1}^dw_iTx_kx_k^Tw_i$$

$$z_k^Tz_k = \sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d(w_i^Tx_kw_i)^T(w_j^Tx_kw_j)$$

根据约束条件s.t.得$$z_k^Tz_k = \sum_{i=1}^dw_iTx_k^Tx_kw_i$$

$$L =x_k^Tx_k - \sum_{i=1}^dw_i^Tx_kx_k^Tw_i$$

根据奇异值分解$$\sum_{i=1}^dw_iTx_kx_k^Tw_i = tr(W^Tx_kTx_kW)$$

$$L =argmin\sum_{i=1}^kx_k^Tx_k - tr(W^Tx_k^Tx_kW) = argmin\sum_{i=1}^k- tr(W^Tx_k^Tx_kW) + C$$

等价于带约束得优化问题：$$argmaxtr(W^TXXTW)$$

$$s.t. W^TW = I$$

最佳超平面W与最大方差法求解的最佳投影方向一致，即协方差矩阵的最大特征值所对应的特征向量，差别仅是协方差矩阵$\xi$的一个倍数

5.1 定理

$$argmin\phi(W,Z|X) = tr((X-W^TZ)^T(X-W^TZ)) = ||X-W^TZ||_F^2$$

$$s.t.W^TW=I_q$$

注：X为(n,p),Z为(n,q),q < p,w为(p,q)

该定理表达的意思也就是平方差理论，将降维后的矩阵通过W^T投影回去，再与X计算最小平方差，值越小说明信息损失越少

$\phi$目标函数最小时，W为X的前q个特征向量矩阵且$Z=W^TX$

以上优化可以通过拉格朗日对偶问题求得，最终也会得到$$argmaxtr(W^TXXTW)$$

$$s.t. W^TW = I$$

6. 核PCA推导

核函数:设X是输入空间($R^n$的子集或离散子集),又F为特征空间(希尔伯特空间)，如果存在一个从X到F的隐射 $$\phi (X):X -> F$$ 使得对所有x,z\in X,函数K(x,z)满足条件 $$K(x,z) = \phi (x)\bullet \phi (z)$$

下面推导F投影到的主成分定义的平面，根据F样本方差的特征值分解得(为推导方便去掉前面的($\frac{1}{n-1}$) $$F^THFV_i = \lambda _i V_i$$ 由于H为等逆矩阵，则 $$F^THHFV_i = \lambda _i V_i$$

由于想得到F很难，我们换一种思路将求F转移求K上，根据AA^T与ATA的关系：非零特质值相同，得到 $$HFF^THU_i = \lambda _iU_i$$

两边同时乘以$F^TH$得到$$F^THHFFTHU_i = \lambda _iF^THU_i$$

从上式可以得到$F^THU_i$为$F^THHF$的特征向量

将$F^THU_i$进行归一化$$U_{normal} = \frac{F^{THU_i}{{||U_i}THFF^THU_i||}_2}$$

由于$HFF^TH = HKH = \lambda _i$,则$$U_{normal} = \lambda ^{{-\frac{1}{2}}F}THU_i$$

F投影到$U_normal$定义的平面 $$P = F_{center} U_{normal}$$

$$P= (F-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nF_i)(\lambda ^{-\frac{1}{2}}F^THU_i)$$

$$P= (F-\frac{1}{n}F^TI_n)(\lambda ^{-\frac{1}{2}}F^THU_i)$$

$$P= \lambda ^{-\frac{1}{2}}(K - \frac{1}{n}K(x,x_i))HU_i$$

附：奇异值分解

奇异值分解是一个能适用于任意矩阵的一种分解方法： $$A = U\xi{V}^T$$

假设A是一个MN的矩阵，那么U就是MM的方阵（里面的向量是正交的，U里面向量为左奇异向量），$\xi$为MN的实数对角矩阵（对角线以外的元素都是0，对角线上的元素为奇异值），
$V^T$是一个NN的矩阵（里面的向量是正交的，V里面的向量称为右奇异向量）

再结合特征值分解： $$(A^T\bullet{A})\bullet{V_i} = \lambda{_i}\bullet{V_i}$$

上面得到的$V_i$就是奇异值分解种的右奇异向量，$\lambda{_i}$为特征值

此外我们还可以得到： $$\sigma{_i} = \sqrt{\lambda{_i}}\u_i=\frac{1}{\sigma{_i}}AV_i$$

上面的$\sigma{_i}为奇异值$，$u_i$为左奇异向量

常见的做法是将奇异值由大到小排列，在大多数情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值和的99%以上，也就是说我们可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵

$$A_{m\times{n}}\approx{U_{m\times{r}}\xi{_{r\times{r}}}V_{r\times{n}}^T}$$

r是一个远小于m,n的数

参考资料:

• (1)李航老师的<统计学习方法>
• (2)<机器学习实战基于Scikit-Learn和TensorFlow>
• (3)<百面机器学习>