PID 基础公式及程序

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一、位置式离散 PID#

• $Pwm = Kp \times e(k) + Ki \times \sum e(k) + Kd \times [e(k) - e(k-1)]$
• $e(k)$ : 本次偏差
• $e(k-1)$ : 上次偏差
• $\sum e(k)$ : $e(k)$ 以及之前的偏差的累计和，其中 $k$ 为 $1, 2, 3\ldots k$
• $Pwm$ : 代表输出

C 语言的实现：

// 位置式离散 PID
// P = Kp * err;
// I = Ki * integral_err;
// D = Kd * (err - last_err);
// Pwm = P + I + D;
float PositionPid(int encoder, int target) {
    static float err = 0, last_err = 0, integral_err = 0, pwm = 0;
    float kp = 1, ki = 1, kd = 1;

    err = encoder - target;  // 计算偏差
    integral_err += err;  // 求出偏差积分
    pwm = kp * err + ki * integral_err + kd * (err - last_err);
    last_err = err;  // 保存上一次偏差

    return pwm;  // 输出
}

在舵机角度控制闭环系统里，只使用 PD 控制，因此可将 PID 控制简化为此公式：

$Pwm = Kp \times e(k) + Kd \times [e(k) - e(k-1)]$

代码更改如下：

// 位置式离散 PD
// P = Kp * err;
// D = Kd * (err - last_err);
// Pwm = P + D;
float PositionPid(int encoder, int target) {
    static float err = 0, last_err = 0, integral_err = 0, pwm = 0;
    float kp = 1, ki = 1, kd = 1;

    err = encoder - target;  // 计算偏差
    pwm = kp * err + kd * (err - last_err);
    last_err = err;  // 保存上一次偏差

    return pwm;  // 输出
}

PID 参数整定：

• P：用于提高相应速度
• I：用于减小静差
• D：用于抑制震荡

二、增量式离散 PID#

• $Pwm += Kp × [e(k) - e(k-1)] + Ki × e(k) + Kd × [e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)]$
• $e(k)$ : 本次偏差
• $e(k-1)$ : 上次的偏差
• $e(k-2)$ : 上上次的偏差
• $Pwm$ : 代表增量输出

C 语言实现：

// 增量式离散 PID
// P = Kp * (err - last_err);
// I = Ki * err;
// D = Kd * (err - 2 * last_err + before_err);
// Pwm += P + I + D;
float IncrementalPid(int encoder, int target) {
    static float err = 0, last_err = 0, before_err = 0, pwm = 0;
    float kp = 1, ki = 1, kd = 1;

    err = encoder - target;  // 计算偏差
    pwm += kp * (err - last_err) + ki * err +
          kd * (err - 2 * last_err + before_err);  // 增量式 PI 控制器
    before_err = last_err;  // 保存上上次偏差
    last_err = err;  // 保存上一次偏差

    return pwm;  // 增量输出
}

在速度控制闭环系统里，只使用 PI 控制，因此可将 PID 控制简化为此公式：

$Pwm += Kp × [e(k) - e(k-1)] + Ki × e(k)$

代码更改如下：

// 增量式离散 PI
// P = Kp * (err - last_err);
// I = Ki * err;
// Pwm += P + I;
float IncrementalPid(int encoder, int target) {
    static float err = 0, last_err = 0, pwm = 0;
    float kp = 1, ki = 1, kd = 1;

    err = encoder - target;  // 计算偏差
    pwm += kp * (err - last_err) + ki * err;  // 增量式 PI 控制器
    last_err = err;  // 保存上一次偏差

    return pwm;  // 增量输出
}