常见算法之14---球放入盒问题

N个球放入M个盒子中的问题研究：

本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业面试经常会涉及到这个问题。

这个问题并非咋一看上去那么容易，不妨自己先动手计算一下下面几个题目：

情形1 N个不同的球，放入M个不同的盒子，允许盒子为空的放法。

情形2 N个不同的球，放入M个不同的盒子，盒子不为空的放法。

情形3 N个相同的球，放入M个不同的盒子，允许盒子为空的放法

情形4 N个相同的球，放入M个不同的盒子，盒子不为空的放法。

情形5 N个相同的球，放入M个相同的盒子，允许盒子为空的放法。

情形6 N个相同的球，放入M个相同的盒子，盒子不为空的放法。

情形7 N个不同的球，放入M个相同的盒子，允许盒子为空的放法。

情形8 N个不同的球，放入M个相同的盒子，盒子不为空的放法。

 

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假定：c(N,M)表示为从n个项中挑选出m个项的方案数。

情形1 N个不同的球，放入M个不同的盒子，允许盒子为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种方式。

 

情形2 N个不同的球，放入M个不同的盒子，盒子不为空的放法。
首先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。（相当于每个盒子里放一个）c(N,M)*M!种
然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。M^(N-M)种
综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]

 

情形3 N个相同的球，放入M个不同的盒子，允许盒子为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成一列，中间插入M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插入一个板后，有N+2个空....故一共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板子的插入顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。板子的顺序有(M-1)!
综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。

 

情形4 N个相同的球，放入M个不同的盒子，盒子不为空的放法。
首先，因为是不允许盒子为空，所以先取出M个球，每个盒子放一个。处理完此步骤之后，只有一种状态（因为球都一样）。
此时就相当于将N-M个相同的球，放入M个不同的盒子中了，允许为空的情形了。
所以此情形的方案数等同于N-M个球时的情形3。

 

情形5 N个相同的球，放入M个相同的盒子，允许盒子为空的放法。
因为其他盒子和球都是相同的，重复情形太多了。最终感觉还是穷举法最好一些。
可以将此题等同于将数字N进行分解，使分解和为N。
按照分解为1个数的情形，2个数的情形...M个数的情形。
为了防止有重复情形，分解的数字按照非严格递增的顺序来排列。

 

情形6 N个相同的球，放入M个相同的盒子，盒子不为空的放法。
这种情形，等同于N-M个球的情形5。（相当于先拿出M个球，各放入一个后，再按情形5来计算。）

情形7 N个不同的球，放入M个相同的盒子，盒子不为空的放法。
使用隔板法，板子不能插入两边，两个板子也不能相邻。
假如N个球一列排开，第一个板子有N-1个选择，第二个板子有N-2种选择.....第M-1个板子有N-M+1种选择。共计(N-1)*(N-2)*...*(N-M+1)。

因为板子是相同的，没有先后之分，有(M-1)!种方式。
再考虑到球都是不同的，有N!种排列方法。
故有N!*(N-1)*(N-2)*...*(N-M+1)/(M-1)!种方法。

 

情形8 N个不同的球，放入M个相同的盒子，允许盒子为空的放法。
分情况考虑：放入了1个盒子中，放入两个盒子中，....放入了M个盒子中。
而上面分别对应了情形7中，M=1，M=2....M=M的情形，分别计算出求和即可。

 

注：以上都是个人思考的，并非摘抄自权威来源，可能会有错误，欢迎讨论！