三分答案

三分答案入门

三分法求单峰（或者单谷）的极值，是二分法的一个简单扩展。

单峰函数和单谷函数如下图，函数 $f(x)$ 在区间 $[l,r]$ 内，只有一个极值 $v$ ，在极值点两边，函数是单调变化的。以单峰函数为例，在 $v$ 的左边，函数是严格单调递增的，在 $v$ 右边是严格单调递减的。

                                                                  图1 (1)单峰函数　　　　　　                                                                                                                                                       (2)单谷函数

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下面的讲解都以求单峰极值为例。

如何求单峰函数最大值的近似值？虽然不能直接用二分法，不过，只要稍微变形一下，就能用了。

在 $[l,r]$ 上任取 $2$ 个点，$mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ ，把函数分成 $3$ 段。有以下情况：

（1）若 $f(mi{d}^1)$ < $f(mi{d}^2)$，极值点 $v$ 一定在 $mi{d}^1$ 的右侧。此时，$mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ 要么都在 $v$ 的左侧，要么分别在 $v$ 的两侧。如下图所示。下一步，令 $l=mi{d}^1$ ，区间从 $[l,r]$ 缩小为 $[mi{d}^1,r]$ ，然后再继续把它分成 $3$ 段。

图2 情况（1）：极值点 $v$ 在 $mi{d}^1$ 右侧

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（2）同理，若 $f(mi{d}^1)>f(mi{d}^2)$，极值点 $v$ 一定在 $mi{d}^2$ 的左侧。如下图所示。下一步，令 $r=mi{d}^2$ ，区间从 $[l,r]$ 缩小为 $[l,mi{d}^2]$。

图3 情况（2）：极值点 $v$ 在 $mi{d}^1$ 右侧

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不断缩小区间，就能使得区间 $[l,r]$ 不断逼近 $v$ ，从而得到近似值。

如何取 $mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ ？有两种基本方法：

（1）三等分：$mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ 为 $[l,r]$ 的三等分点。那么区间每次可以减少 $1/3$。

（2）近似三等分：计算 $[l,r]$ 中间点 $mid=(l+r)/2$ ，然让 $mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ 非常接近 $mid$ ，例如 $mi{d}^1=mid-eps$，$mi{d}^2=mid+eps$，其中 $eps$ 是一个很小的值。那么区间每次可以减少接近一半。

近似三等分比三等分要稍微快一点，不过在有些情况下这个 $eps$ 过小可能导致这两种方法算出来的结果相等，导致判断错方向，所以其实不建议这么写。从复杂度上看，$lo{g}^{3}n$ 和 $lo{g}^{2}n$ 是差不多的。

提示：单峰函数的左右两边要严格单调，否则，可能在一边有 $f(mi{d}^1)==f(mi{d}^2)$，导致无法判断如何缩小区间。

例题：

洛谷 P3382 【模板】三分法 ：传送锚点

 

题目描述

如题，给出一个 $N$ 次函数，保证在范围 $[l,r]$ 内存在一点 $x$，使得 $[l,x]$ 上单调增，$[x,r]$ 上单调减。试求出 $x$ 的值。

输入格式

第一行一次包含一个正整数 $N$ 和两个实数 $l,r$，含义如题目描述所示。

第二行包含 $N+1$ 个实数，从高到低依次表示该 $N$ 次函数各项的系数。

输出格式

输出为一行，包含一个实数，即为 $x$ 的值。若你的答案与标准答案的相对或绝对误差不超过 $10^{-5}$ 则算正确。

样例

输入数据1

3 -0.9981 0.5

 

1 -3 -3 1

输出数据1

-0.41421

样例说明

 

 

 

如图所示，红色段即为该函数 $f(x)=x^3-3x^2-3x+1$ 在区间 $[-0.9981,0.5]$ 上的图像。

当 $x=-0.41421$ 时图像位于最高点，故此时函数在 $[l,x]$ 上单调增，$[x,r]$ 上单调减，故 $x=-0.41421$，输出 $-0.41421$。

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据：$6\le N\le 13$，函数系数均在 $[-100,100]$ 内且至多 $15$ 位小数，$|l|,|r|\le 10$ 且至多 $15$ 位小数。$l\le r$。

模板题目

$mi{d}^1$ 和 $mi{d}^2$ 为 $[l,r]$ 的三等分点

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using d=double;
const d eps=1e-6;
int n;
d l,r;
d a[15];

d f(d x)//计算函数值
{
    d s=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        s=s*x+a[i];
    return s;
}

int main()
{
    cin>>n>>l>>r;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    while(r-l>eps)
    {
        d mid1=l+(r-l)/3;
        d mid2=r-(r-l)/3;
        if(f(mid1)>f(mid2)) r=mid2;
        else l=mid1;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(5)<<l<<'\n';
}

洛谷 P3745 [六省联考 2017] 期末考试 ：传送锚点

 

题目描述

有 $n$ 位同学，每位同学都参加了全部的 $m$ 门课程的期末考试，都在焦急的等待成绩的公布。

第 $i$ 位同学希望在第 $t^i$ 天或之前得知所有课程的成绩。如果在第 $t^i$ 天，有至少一门课程的成绩没有公布，他就会等待最后公布成绩的课程公布成绩，每等待一天就会产生 $C$ 不愉快度。

对于第 $i$ 门课程，按照原本的计划，会在第 $b^i$ 天公布成绩。

有如下两种操作可以调整公布成绩的时间:

1. 将负责课程 $X$ 的部分老师调整到课程 $Y$，调整之后公布课程 $X$ 成绩的时间推迟一天，公布课程 $Y$ 成绩的时间提前一天；每次操作产生 $A$ 不愉快度。
2. 增加一部分老师负责学科 $Z$，这将导致学科 $Z$ 的出成绩时间提前一天；每次操作产生 $B$ 不愉快度。

上面两种操作中的参数 $X,Y,Z$ 均可任意指定，每种操作均可以执行多次，每次执行时都可以重新指定参数。

现在希望你通过合理的操作，使得最后总的不愉快度之和最小，输出最小的不愉快度之和即可。

输入格式

第一行三个非负整数 $A,B,C$，描述三种不愉快度，详见【题目描述】；

第二行两个正整数 $n,m$，分别表示学生的数量和课程的数量；

第三行 $n$ 个正整数 $t^i$，表示每个学生希望的公布成绩的时间；

第四行 $m$ 个正整数 $b^i$，表示按照原本的计划，每门课程公布成绩的时间。

输出格式

输出一行一个整数，表示最小的不愉快度之和。

样例

输入数据 1

100 100 2

4 5

5 1 2 3

1 1 2 3 3

输出数据 1

6

输入数据 2

3 5 4

5 6

1 1 4 7 8

2 3 3 1 8 2

输出数据 2

33

数据范围

Case #	$n,m,t^i,b^i$	$A,B,C$
1, 2	$1\le n,m,t^i,b^i\le 2000$	$A=10^9;B=10^9;0\le C\le 10^2$
3, 4	$1\le n,m,t^i,b^i\le 2000$	$0\le A;C\le 10^2;B=10^9$
5, 6, 7, 8	$1\le n,m,t^i,b^i\le 2000$	$0\le B\le A\le 10^2;0\le C\le 10^2$
9 - 12	$1\le n,m,t^i,b^i\le 2000$	$0\le A,B,C\le 10^2$
13, 14	$1\le n,m,t^i,b^i\le 10^5$	$0\le A,B\le 10^5;C=10^{16}$
15 - 20	$1\le n,m,t^i,b^i\le 10^5$	$0\le A,B,C\le 10^5$

 

【算法分析】

首先证明不愉快度是时间的下凹函数，那么就可以用三分法求极小值。

在如下参考代码代码中，第 $30$ 行的 $while$ 循环把极小值所在的区间缩小到了 $r-l\le 2$，然后在第 $37$ 行的 $for$ 循环中求这个区间的极小值。

要注意特判 $C$ 非常大时的情况。

整数三分的基本代码如下，注意第 1 行的 right-left>2 ，如果写成 right>left ，当 right-left<3 时会陷入死循环。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
const int N=100005;
using namespace std;

typedef long long ll;
int n,m,t[N],b[N];
ll A,B,C,ans;

ll calc1(int p) //计算通过A，B操作把时间调到p的不愉快度
{          
    ll x=0,y=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(b[i]<p) x+=p-b[i];
        else y+=b[i]-p;
    }
    if(A<B) return min(x,y)*A+(y-min(x,y))*B;  //A<B,先用A填补，再用B
    else return y*B;                           //B<=A,直接全部使用B
}

ll calc2(int p)  //计算学生们的不愉快度总和
{ 
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        if(t[i]<p) sum+=(p-t[i])*C;
    return sum;
}

int main()
{
    scanf("%lld %lld %lld %d %d",&A,&B,&C,&n,&m);          
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&t[i]);        
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&b[i]);            
    sort(b+1,b+m+1);    
    sort(t+1,t+n+1);
    
    if(C>=1e16) //一个特判
    {
        cout<<calc1(t[1])<<endl;
        return 0;
    }   

    ans=1e16;
    int l=1,r=N;                        //left, right
    while(r-l>2)                        //把2改成其他数字也行，后面的for再找最小值
    {
         int mid1=l+(r-l)/3;
         int mid2=r-(r-l)/3;
         ll c1=calc1(mid1)+calc2(mid1); //总不愉快度
         ll c2=calc1(mid2)+calc2(mid2);
         if(c1<=c2) r=mid2;
         else l=mid1;
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)               //在上面求出的区间内再枚举时间求出最小值
    {
        ll x=calc1(i)+calc2(i);
        ans=min(ans,x);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

我的Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int N=1e5+5;
int n,m;
int t[N],s[N];
ll a,b,c,ans;

ll calc1(int x)
{
    ll y=0,z=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(s[i]<x) y+=x-s[i];
        else z+=s[i]-x;
    if(a<b) return min(y,z)*a+(z-min(y,z))*b;
    else return z*b;
}

ll calc2(int x)
{
    ll cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(t[i]<x)
            cnt+=(x-t[i])*c;
    return cnt;
}

int main()
{
    cin>>a>>b>>c>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>t[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>s[i];
    sort(t+1,t+n+1);
    sort(s+1,s+m+1);
    if(c>=1e16)
    {
        cout<<calc1(t[1])<<'\n';
        return 0;
    }
    ans=1e16;
    int l=1,r=N;
    while(r-l>2)
    {
        int mid1=l+(r-l)/3;
        int mid2=r-(r-l)/3;
        ll c1=calc1(mid1)+calc2(mid1);
        ll c2=calc1(mid2)+calc2(mid2);
        if(c1<=c2) r=mid2;
        else l=mid1;
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        ll x=calc1(i)+calc2(i);
        ans=min(ans,x);
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

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