P2520 [HAOI2011]向量

原题传送锚点

题目描述

给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。

说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

输入格式

第一行数组组数t，(t<=50000)

接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*10^9 <=a,b,x,y<=2*10^9)

输出格式

t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来

样例 #1

样例输入 #1

3
2 1 3 3
1 1 0 1
1 0 -2 3

样例输出 #1

Y
N
Y

提示

样例解释：

第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)

第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)

首先，我们注意到题目中的向量实际只有4种操作：(a,b),(b,a),(a,-b),(b,-a)。于是由题意得方程组：

k(a,b)+q(b,a)+w(a,−b)+c(b,−a)=(x,y)--> (k+w)a+(q+c)b=x, (k-w)b+(q-c)a=y.

由裴蜀定理可得：ax+by=c,x和y有整数解的充要条件是 gcd(a,b)∣c，

证明：令a=p*gcd(a,b),b=q*gcd(a,b),则原式=(px+qy)*gcd(a,b)=c，显然因为gcd(a,b)为整数，而要使x和y为整数，则gcd(a,b)∣c。

我们回到开始的方程组(k+w)a+(q+c)b=x,(k-w)b+(q-c)a=y。

由裴蜀定理易得:

使(k+w),(q+c),(k-w),(q-c)(k+w),(q+c),(k−w),(q−c)均为整数的充要条件是：

gcd(a,b)∣x且gcd(a,b)∣y。但是注意到(k+w),(k-w)有整数解不一定k和w有整数解（(q+c)和(q-c)是同理的）。此时不妨设(k+w)=f,(k−w)=g,则k=(f+g)/2,w=(f−g)/2，因为2∣(f+g)且2∣(f−g)，显然要使k和w均为整数则f和g均为偶数或均为奇数（(q+c)和(q-c)同理）。

于是我们考虑这四种情况：

1、当(k+w)、(k-w)、(q+c)、(q-c)均为偶数时，(k+w)a+(q+c)b=x 提公因数2结合gcd(a,b)∣x => 2gcd(a,b)∣x 同理 gcd(a,b)∣y

2、当(k+w)和(k-w)为偶数，(q+c)和(q-c)为奇数时，(k+w)a+(q+c)b=x 先左右两边同加b，再提公因数2 结合gcd(a,b)∣x --> 2gcd(a,b)∣x+b 同理 2gcd(a,b)∣y+a

3、当(k+w)和(k-w)为奇数，(q+c)和(q-c)为偶数时，(k+w)a+(q+c)b=x 先左右两边同加a，再提公因数2 结合gcd(a,b)∣x -->2gcd(a,b)∣x+a 同理 2gcd(a,b)∣y+b

4、当(k+w)、(k-w)、(q+c)、(q-c)均为奇数时，(k+w)a+(q+c)b=x 先左右两边同加a+b，再提公因数2 结合gcd(a,b)∣x --> 2gcd(a,b)∣x+a+b 同理 2gcd(a,b)∣y+a+b

只要满足上述的任意一种情况，则说明本题k、w、q、c有整数解，说明可行，否则说明无解。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int t,a,b,x,y,g;

int gcd(int i,int j)
{
    return j?gcd(j,i%j):i;//注意gcd不要写错！！！
}

bool pd(int i,int j)
{
    return (i%g==0)&&(j%g==0);
}

signed main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b>>x>>y;
        g=gcd(a,b)*2;
        if(pd(x,y)||pd(x+a,y+b)||pd(x+b,y+a)||pd(x+a+b,y+a+b))
            cout<<'Y'<<'\n';
        else 
            cout<<'N'<<'\n';
    }
}

---

如果您觉得阅读本文对您有帮助，请点一下“推荐”按钮，您的“推荐”将是我最大的写作动力！欢迎各位转载，但是未经作者本人同意，转载文章之后必须在文章页面明显位置给出作者和原文连接，否则保留追究法律责任的权利。