矩阵

  1、线性变换的一个重要性质就是不包括平移，包含平移的变换称为防射变换。3D中的防射变换不能用3*3矩阵表达。

  2、旋转：

    在2D环境中，物体只能绕某个点旋转，2D中绕原点的旋转只有一个参数：角度，它描述了旋转量。逆时针为正

  3、在3D环境中，绕轴旋转而不是点。

     明确旋转轴指向那个方向。旋转轴在理论上市无线眼神的，但我们还是要认为有正端点和负端点。

    左手法则：伸出左手，大拇指向上，其余四肢弯曲。大拇指指向旋转轴的正方向。四肢弯曲的方向就是旋转的正方向。

  4、缩放矩阵

   

  5、正交投影

  一般来讲，投影意味着降维操作。

 在某个方向上用零作为缩放因子。这种情况下，所有点都被拉平至垂直的轴3d或者2d上，平行投影或者正交投影。

 6、向任意直线或平面投影

   7、镜像：也叫做反射，是一种反射，其作用是将物体沿直线或平面翻转。

  使缩放因子为-1能够狠容易的实现镜像变换。

  注意：一个物体只能镜像一次，如果再次镜像(沿着不同的轴或平面的时候)，物体将翻回正面。这和在

原位置旋转物体的效果是一样。

  8、切变：

    是一种坐标系扭曲变换，非均匀的拉伸他。切变的时候角度会发生变化，但面积和体积却都保持不变。

 

9、线性变换

   F(a+b)=F(a)+F(b)

10、防射变换：

    防射变换时指线性变换后接着平移。所以，防射变换的集合就是线性变换的集合。

  v'=vM+b的变换都是防射变换。

11、任何线性变换都能表达为矩阵，所以求逆变换等价求逆矩阵的逆，如果矩阵是奇异的，则变换不可逆，

可逆矩阵的行列式不为0。

  12、如果变换前后2向量夹角的大小和方向都不改变，该变换时等角的。只有平移，旋转和均匀缩放时等角的。

  任何等角变换都是防射和可逆的。

 13、正交变换：

    轴保持互相垂直，而且不进行缩放变换。

   平移，旋转和镜像是仅有的正交变换。长度，角度，面积体积都保持不变。

 14、刚体变换：

   刚体变换只改变物体的位置和方向，不包括形状。  平移和旋转是仅有的刚体变换。

 

  15、行列式：   |M|

  余子式： 是一2*2的矩阵，是从M中除去第一行和第二列的结果。

  

   矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式。

   如果矩阵的任意行或列全为0，那么他的行列式等于0.

   交换矩阵的任意2行或2列，行列式变负。

   任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

  16、M-1称为方阵的逆

      并非所有的矩阵都有逆。 

      如果一个矩阵有逆矩阵，那么称为它为可逆的或非奇异的。

      如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为0，非奇异

矩阵行列式不为0.  可以通过检测行列式的值 判断矩阵是否可逆。

    M的伴随矩阵记作 adjM ，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。

  一旦有了标准的伴随矩阵，可以通过除以M的行列式，计算矩阵的逆。

  矩阵的逆在集合上很有用，他使得我们可以计算变换的反向或相反变换---

  17、正交矩阵；

若方阵M是正交的，则当且仅当M与M与他的转置矩阵的成绩等于单位矩阵。

  镜像和旋转矩阵是正交的。 RotationMatrix

 

    一个矩阵是正交矩阵的条件：

      矩阵的每一行都是单位向量。

 矩阵的所有行互相垂直。

对矩阵的列也能得到类似的条件。    矩阵式正交的，转置矩阵也是正交的。

 矩阵正交化：   3D基向量的施密特正交化。

18、齐次坐标：

   w=1 点

   在w=1的平面上的点

   不在w=1平面上的点，将他们投影到w=1平面上。除以w

  w=0 代表一个无穷远的点，描述的不是一个位置，而是一个向量。