[BZOJ4031][HEOI2015]小Z的房间

[BZOJ4031][HEOI2015]小Z的房间

试题描述

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含 \(n \times m\) 个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

输入

第一行两个数分别表示 \(n\) 和 \(m\)。
接下来 \(n\) 行，每行 \(m\) 个字符，每个字符都会是 . 或者 *，其中 . 代表房间，* 代表柱子。

输出

一行一个整数，表示合法的方案数\(\mathrm{mod}\ 10^9\)

输入示例

3 3
...
...
.*.

输出示例

15

数据规模及约定

对于前 \(100\%\) 的数据，\(n,m \le 9\)

题解

矩阵树定理裸题，来练习一下高斯消元。

高斯消元可以辗转相除，这样好写。

注意本题在消元过程中要时时取模，中途可能会爆 long long。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}


#define maxr 10
#define maxn 100
#define MOD 1000000000
#define LL long long

int r, c;
char Map[maxr][maxr];

int n, p[maxr][maxr];
int id(int i, int j) { return p[i][j] ? p[i][j] : p[i][j] = ++n; }

LL A[maxn][maxn];

void elim(LL* a, LL* b, int tar) { // target: b[tar] = 0
	if(!b[tar]) return ;
	LL rate = a[tar] / b[tar];
	rep(i, 1, n) a[i] = (a[i] - b[i] * rate % MOD + MOD) % MOD;
	return elim(b, a, tar);
}
void calcDet(LL A[][maxn]) {
	int sgn = 1;
	rep(i, 1, n)
		rep(j, i + 1, n) if(A[j][i]) {
			elim(A[i], A[j], i);
			if(!A[i][i]) swap(A[i], A[j]), sgn = -sgn;
		}
	LL sum = 1;
	rep(i, 1, n) sum = sum * A[i][i] % MOD;
	printf("%lld\n", (sum * sgn + MOD) % MOD);
	return ;
}

int main() {
	r = read(); c = read();
	rep(i, 1, r) scanf("%s", Map[i] + 1);
	
	rep(i, 1, r) rep(j, 1, c) if(Map[i][j] == '.') id(i, j);
	rep(i, 1, r) rep(j, 1, c) if(Map[i][j] == '.') {
		int now = id(i, j), nxt;
		if(i < r && Map[i+1][j] == '.') {
			nxt = id(i + 1, j);
			A[now][nxt] = A[nxt][now] = -1;
			A[now][now]++; A[nxt][nxt]++;
		}
		if(j < c && Map[i][j+1] == '.') {
			nxt = id(i, j + 1);
			A[now][nxt] = A[nxt][now] = -1;
			A[now][now]++; A[nxt][nxt]++;
		}
	}
	
	n--;
	// rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) printf("%lld%c", A[i][j], j < n ? ' ' : '\n');
	calcDet(A);
	
	return 0;
}