练级（train）
练级（train）
试题描述
cxm 在迷宫中练级。迷宫可以看成一个有向图，有向图的每个边上都有怪物。通过每条边并消灭怪物需要花费 \(1\) 单位时间。消灭一个怪物可以得到一定数量的经验值。怪物被消灭以后会立即重生，即多次通过同一条边可以多次得到经验值。
现在 cxm 想知道得到至少 \(E\) 的经验值需要多少个单位时间。
输入
从文件 train.in 中读入数据。
第一行包含一个正整数 \(T\)，表示数据的组数。接下来有 \(T\) 个部分，每个部分描述一组数据。
每个部分第一行包含两个正整数 \(n\) 和 \(E\)，表示有向图中点的个数和最终需要的经验值。有向图中的点用 \(1\) 到 \(n\) 的整数编号。
接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n\) 个非负整数。这 \(n\) 行中，第 \(i\) 行第 \(j\) 个数为 \(S_{i, j}\)。若 \(S_{i, j}\) 为正，则表示编号为 \(i\) 的点到编号为 \(j\) 的点有一条有向边，消灭这里的怪物可以得到 \(S_{i, j}\) 的经验值。若为 \(0\)，则表示 \(i\) 到 \(j\) 没有边。
最初 cxm 在编号为 \(1\) 的点，最终可以在编号为任意数的点结束。
输出
输出到文件 train.out 中。
对于每组数据，输出一行一个正整数，达到所需经验值最少的时间。
注意我们的最小时间单位为 \(1\) 单位时间，即如果一条边上怪物的经验值为 \(6\)，你不能花费 \(\frac{1}{2}\) 单位的时间得到 \(3\) 的经验值，而始终应该将一条边走完（哪怕只需要 \(3\) 的经验值）。
输入示例
2
6 147
0 1 0 50 0 0
0 0 1 0 0 0
20 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 50
0 0 0 8 0 0
0 0 0 0 0 3
6 152
0 1 0 50 0 0
0 0 1 0 0 0
20 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 50
0 0 0 8 0 0
0 0 0 0 0 3
输出示例
9
10
数据规模及约定
有如下几类具有特点的数据：
-
有 \(10\texttt{%}\) 的数据所有的 \(n = 2\)；
-
有 \(20\texttt{%}\) 的数据 \(E \le 3000\)；
-
有 \(20\texttt{%}\) 的数据若 \(S_{i, j} \ne 0\)，则有 \(S{i, j} \ge 10^{15}\)；
-
有 \(20\texttt{%}\) 的数据所有的 \(n = 40\)。
以上各类数据互相之间均没有交集。对于所有数据 \(1 \le T \le 6\)，\(n \le 100\)，\(0 \le S_{i, j} \le E \le 10^{18}\)。
数据保证至少存在一个环（包括自环），且至少存在一条点 \(1\) 通往这个环上某一点的路径。
题解
这是一个倍增 floyd。
令 \(f(i, j, S)\) 表示从节点 \(i\) 到节点 \(j\) 走恰好 \(2^S\) 步能得到的最大经验值。这个用一个类似 floyed 的 dp 就可以处理出来了。
然后对于答案，我们可以直接从高到底位枚举二进制。比如，先尝试 \((1000000)_2\)，如果可以了就让第一位二进制变成 \(0\)，接着往下尝试（即下一次尝试 \((0100000)_2\)）；否则下一步尝试 \((1100000)_2\)。
怎么尝试呢？我们记一个数组 \(g_i\) 表示从 \(1\) 号节点到 \(i\) 号节点，经过“当前步数”能得到的最大经验值。借助刚刚处理出的 \(f\) 数组可以实现每一位二进制填 \(1\) 或 \(0\)。
然而，这样求出来的 \(g_i\) 是步数恰好等于“当前步数”的最大经验值，而这个东西并不关于“当前步数”单调（想一想，为什么），怎么解决？我们给每个点多连一个经验值为 \(0\) 的自环就好了（想一想，为什么）。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)
#define LL long long
LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 110
#define maxlog 61
#define ool (1ll << 60)
int n;
LL f[maxlog][maxn][maxn], lim, g[maxn], h[maxn];
int main() {
freopen("train.in", "r", stdin);
freopen("train.out", "w", stdout);
int T = read();
while(T--) {
n = read(); lim = read();
memset(f, -1, sizeof(f));
rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) {
f[0][i][j] = read();
if(!f[0][i][j]) f[0][i][j] = -1;
}
rep(i, 1, n) f[0][i][i] = max(f[0][i][i], 0ll);
rep(s, 1, maxlog - 1) rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) rep(k, 1, n) if(f[s-1][i][k] >= 0 && f[s-1][k][j] >= 0)
f[s][i][j] = max(f[s][i][j], min(f[s-1][i][k] + f[s-1][k][j], lim));
// rep(s, 1, maxlog - 1) rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) if(f[s][i][j] >= 100) printf("f[%d][%d][%d] = %lld\t", s, i, j, f[s][i][j]);
LL tmp = 0, ans = ool;
memset(g, -1, sizeof(g)); g[1] = 0;
dwn(bit, maxlog - 1, 0) {
tmp |= 1ll << bit;
memset(h, -1, sizeof(h));
bool ok = 0;
rep(i, 1, n) {
rep(k, 1, n) if(g[k] >= 0 && f[bit][k][i] >= 0) h[i] = max(h[i], min(g[k] + f[bit][k][i], lim));
if(h[i] >= lim) ok = 1;
}
if(ok) ans = min(ans, tmp), tmp ^= 1ll << bit;
else memcpy(g, h, sizeof(h));
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
