[UOJ#276]【清华集训2016】汽水
[UOJ#276]【清华集训2016】汽水
试题描述
牛牛来到了一个盛产汽水的国度旅行。
这个国度的地图上有 \(n\) 个城市，这些城市之间用 \(n−1\) 条道路连接，任意两个城市之间，都存在一条路径连接。这些城市生产的汽水有许多不同的风味，在经过道路 \(i\) 时，牛牛会喝掉 \(w_i\) 的汽水。牛牛非常喜欢喝汽水，但过量地饮用汽水是有害健康的，因此，他希望在他旅行的这段时间内，平均每天喝到的汽水的量尽可能地接近给定的一个正整数 \(k\)。
同时，牛牛希望他的旅行计划尽可能地有趣，牛牛会先选择一个城市作为起点，然后每天通过一条道路，前往一个没有去过的城市，最终选择在某一个城市结束旅行。
牛牛还要忙着去喝可乐，他希望你帮他设计出一个旅行计划，满足每天 \(|平均每天喝到的汽水−k|\) 的值尽量小，请你告诉他这个最小值。
输入
第一行两个正整数 \(n,k\) 。
接下来 \(n−1\) 行，每行三个正整数 \(u_i,v_i,w_i\)，表示城市 \(u_i\) 和城市 \(v_i\) 之间有一条长度为 \(w_i\) 的道路连接。
同一行相邻的两个整数均用一个空格隔开。
输出
一行一个整数，表示 \(|平均每天喝到的汽水−k|\) 的最小值的整数部分，即你只要将这个最小值向下取整然后输出即可。
输入示例
5 21
1 2 9
1 3 27
1 4 3
1 5 12
输出示例
1
数据规模及约定
对于 \(20\texttt{%}\) 的数据，\(n \le 1000\)。
对于另外 \(20\texttt{%}\) 的数据，保证编号为 \(i(1 \le i \le n−1)\) 的节点和编号为 \(i+1\) 的节点之间连接了一条边。
对于另外 \(20\texttt{%}\) 的数据，保证数据是以 \(1\) 为根的完全二叉树（在完全二叉树中，节点 \(i(2 \le i \le n)\) 和节点 \(\lfloor i \div 2 \rfloor\) 之间有一条道路）。
对于另外 \(20\texttt{%}\) 的数据，保证除节点 \(1\) 以外，其他节点和节点 \(1\) 之间都有一条道路。
对于 \(100\texttt{%}\) 的数据，\(1 \le n \le 5 \times 10^4,0 \le w_i \le 10^{13},0 \le k \le 10^{13}\)。
题解
我是垫底小王子！！！
看到最小化平均值相关的东西，首先尝试分数规划（即二分答案）。
假设当前二分的答案是 \(x\)，那么就需要验证是否存在一条路径 \(S\) 使得 \(|\frac {\sum_{i \in S} {w_i}} {t} - k| < x\)。展开绝对值得到 \(-x < \frac {\sum_{i \in S} {w_i}} {t} - k < x\)。
下面令 \(t = |S|\)。
先看前半部分 \(\frac {\sum_{i \in S} {w_i}} {t} - k > -x\)，两边同乘 \(t\) 可以导出 \(\sum_{i \in S} {w_i} > t(k - x)\)，然后移项（常规套路），得到 \(\sum_{i \in S} {w_i - k + x} > 0\)。
后半部分同理 \(\frac {\sum_{i \in S} {w_i}} {t} - k < x\) \(\Rightarrow\) \(\sum_{i \in S} {w_i} < t(k + x)\) \(\Rightarrow\) \(\sum_{i \in S} {w_i - k - x} < 0\)。
然后因为是要查找存不存在这样的“链”，我们点分治。直接想跨重心的部分吧，将边权分别改成 \(w_i - k - x\) 和 \(w_i - k + x\) 然后 dfs 出深度，令 \(A_l\) 表示某个已经处理过的子树中的节点的采用第一种边权的深度，\(B_l\) 已经处理过的表示采用第二种边权的深度，\(A_r\) 表示待处理的第一种边权深度，\(B_r\) 表示待处理的第二种边权深度，那么需要满足 \(A_r < -A_l\) 且 \(B_r > -B_l\)，这样我们可以将所有数对 \((-A_l, -B_l)\) 以 \(-A_l\) 为关键字放到 Treap 中，维护 \(-B_l\) 的最小值即可，若所有关键字大于 \(A_r\) 的数对中 \(-B_l\) 的最小值小于 \(B_r\)，则表示当前二分的答案可行。
二分可以当前答案为上界，卡卡常数。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 50010
#define maxm 100010
#define ool (1ll << 60)
int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm];
LL K, val[maxm];
void AddEdge(int a, int b, LL c) {
to[++m] = b; val[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
swap(a, b);
to[++m] = b; val[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
}
struct pll {
LL A, B;
pll() {}
pll(LL _, LL __): A(_), B(__) {}
} ;
struct Node {
LL A, B, mn; int r;
Node() {}
Node(LL _, LL __): A(_), B(__), r(rand()) {}
bool operator < (const Node& t) const { return A < t.A; }
} ;
struct Treap {
int rt, ToT, ch[maxn][2], fa[maxn];
Node ns[maxn];
void Clear(int& o) {
if(!o) return ;
Clear(ch[o][0]); Clear(ch[o][1]);
fa[o] = 0; o = 0;
return ;
}
void clear() {
Clear(rt);
ToT = 0;
return ;
}
void maintain(int o) {
ns[o].mn = ns[o].B;
if(ch[o][0]) ns[o].mn = min(ns[o].mn, ns[ch[o][0]].mn);
if(ch[o][1]) ns[o].mn = min(ns[o].mn, ns[ch[o][1]].mn);
return ;
}
void rotate(int u) {
int y = fa[u], z = fa[y], l = 0, r = 1;
if(z) ch[z][ch[z][1]==y] = u;
if(ch[y][1] == u) swap(l, r);
fa[u] = z; fa[y] = u; fa[ch[u][r]] = y;
ch[y][l] = ch[u][r]; ch[u][r] = y;
maintain(y); maintain(u);
return ;
}
void insert(int& o, Node v) {
if(!o) {
ns[o = ++ToT] = v;
return maintain(o);
}
bool d = ns[o] < v;
insert(ch[o][d], v); fa[ch[o][d]] = o;
if(ns[ch[o][d]].r > ns[o].r) {
int t = ch[o][d];
rotate(t); o = t;
}
return maintain(o);
}
LL qlarger(int o, LL lim, LL smaller_than_this) {
if(!o) return ool;
LL rmn = ch[o][1] ? ns[ch[o][1]].mn : ool;
if(ns[o].A <= lim) return qlarger(ch[o][1], lim, smaller_than_this);
else {
if(min(rmn, ns[o].B) < smaller_than_this) return smaller_than_this - 1;
return qlarger(ch[o][0], lim, smaller_than_this);
}
}
} sol;
int rt, size, f[maxn], siz[maxn];
bool vis[maxn];
void getrt(int u, int fa) {
siz[u] = 1; f[u] = 0;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa && !vis[to[e]]) {
getrt(to[e], u);
siz[u] += siz[to[e]];
f[u] = max(f[u], siz[to[e]]);
}
f[u] = max(f[u], size - siz[u]);
if(f[rt] > f[u]) rt = u;
return ;
}
pll now[maxn];
int cnow;
void dfs(int u, int fa, LL A, LL B, LL x) {
now[++cnow] = pll(A, B);
siz[u] = 1;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(!vis[to[e]] && to[e] != fa)
dfs(to[e], u, A + val[e] - K - x, B + val[e] - K + x, x), siz[u] += siz[to[e]];
return ;
}
bool check(int u, LL x) {
sol.clear();
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(!vis[to[e]]) {
cnow = 0;
dfs(to[e], u, val[e] - K - x, val[e] - K + x, x);
for(int i = 1; i <= cnow; i++) {
if(now[i].A < 0 && now[i].B > 0) return 1;
if(now[i].B > sol.qlarger(sol.rt, now[i].A, now[i].B)) return 1;
}
for(int i = 1; i <= cnow; i++) sol.insert(sol.rt, Node(-now[i].A, -now[i].B));
}
return 0;
}
LL ans;
void solve(int u) {
vis[u] = 1;
LL l = 0, r = ans;
while(l < r) {
LL mid = l + r >> 1;
if(check(u, mid)) r = mid; else l = mid + 1;
}
ans = l;
if(!ans) return ;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(!vis[to[e]]) {
f[rt = 0] = size = siz[to[e]]; getrt(to[e], u);
solve(rt);
}
return ;
}
int main() {
n = read(); K = read();
for(int i = 1; i < n; i++) {
int a = read(), b = read(); LL c = read();
AddEdge(a, b, c);
}
ans = (LL)1e13 + 1;
f[rt = 0] = size = n; getrt(1, 0);
solve(rt);
printf("%lld\n", ans - 1);
return 0;
}
