[BZOJ1690][Usaco2007 Dec]奶牛的旅行
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试题描述
作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。 奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。
输入
* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P
* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i条道路。
输出
* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅 行的话，她们能获得的最大平均乐趣值
输入示例
5 7 30 10 10 5 10 1 2 3 2 3 2 3 4 5 3 5 2 4 5 5 5 1 3 5 2 2
输出示例
6.00
数据规模及约定
见“试题描述”
题解
分数规划。
我们发现它需要最小化一个形如“∑Fi / ∑Ti”的东西，我们不妨二分答案 x，那么 ∑Fi / ∑Ti ≥ x，移项后变成 ∑(Ti·x - Fi) ≤ 0，如果我们把边权设成 Ti · x - Fv（v 是这条边指向的点），那么如果存在负环则表明答案 x 是可行的。
在找负环的时候时，一旦找到一个简单环就会跳出，所以避免了重复经过同一个点的问题。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxn 1010
#define maxm 5010
#define LL long long
int n, m, val[maxn], head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], dist[maxm];
LL eval[maxm];
void AddEdge(int a, int b, int c) {
to[++m] = b; dist[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
}
bool vis[maxn];
LL d[maxn];
bool spfa(int u) {
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(d[to[e]] >= d[u] + eval[e]) {
if(vis[to[e]]) return 1;
d[to[e]] = d[u] + eval[e];
vis[to[e]] = 1;
if(spfa(to[e])) return 1;
}
vis[u] = 0;
return 0;
}
bool has_ncyc() {
memset(d, 0, sizeof(d));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i = 1; i <= n; i++) if(!vis[i]) {
vis[i] = 1;
if(spfa(i)) return 1;
vis[i] = 0;
}
return 0;
}
int main() {
LL l = 0, r = 0;
n = read(); int M = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) val[i] = read() * 2000, r += val[i];
for(int i = 1; i <= M; i++) {
int a = read(), b = read(), c = read();
AddEdge(a, b, c);
}
r++;
while(r - l > 1) {
LL mid = l + r >> 1;
for(int i = 1; i <= m; i++) eval[i] = dist[i] * mid - val[to[i]];
if(has_ncyc()) l = mid; else r = mid;
}
printf("%.2lf\n", (double)l / 2000);
return 0;
}
