[BZOJ2144]跳跳棋

[BZOJ2144]跳跳棋

试题描述

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，z。（棋子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。  写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

输入

第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a b c。（互不相同）第二行包含三个整数，表示目标位置x y z。（互不相同）

输出

如果无解，输出一行NO。如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。

输入示例

1 2 3
0 3 5

输出示例

YES
2

数据规模及约定

100% 绝对值不超过10^9

题解

这是一道思路神题。

首先你要想到能够把状态转移放到一棵树里。具体做法是每种状态有两种往外跳的方案（中间的点向左或向右跳），或者只有一边的棋子能够跳到另外两个棋子中间（这种情况可能不存在，就是在三个数构成等差数列时），那么我们把两种往外跳的转移作为这个状态的两个儿子，往中间跳的转移作为父亲（不存在的话就是根）。

然后我们发现这棵树可能很长很大，比如

(a, b, c) = (0, 1, 1e9)

(x, y, z) = (1e9 - 2, 1e9 - 1, 1e9)

那么会有一条边数为 1e9 - 2 的链。

但是明显这条链有规律，就是每次移动都是左边两个数加上前两个数的差，那么我们就可以通过简单的除法跳到这条链的顶端；然后就可能轮到右边的两个数往左跳；这整个过程就是一个辗转相除的过程了。

然后我们对于两个状态，我们让它们往上跳到根（这个过程显然可以记录一下两个状态分别所在深度），如果根不相同就表明不存在方案；否则我们就可以像倍增求 lca 一样把两个状态调到同一深度，然后二分它们到 lca 的距离。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define oo 1000000000

int dep;
struct Sta {
	int A[3];
	
	Sta() {}
	Sta(int _1, int _2, int _3) { A[0] = _1; A[1] = _2; A[2] = _3; sort(A, A + 3); }
	
	bool operator == (const Sta& t) const { return A[0] == t.A[0] && A[1] == t.A[1] && A[2] == t.A[2]; }
	bool operator != (const Sta& t) const { return !(*this == t); }
	
	Sta jump(int step) {
		Sta ans = *this;
		int l1 = ans.A[1] - ans.A[0], l2 = ans.A[2] - ans.A[1];
		if(l1 == l2) return ans;
		if(l1 < l2) {
			int k = min(step, (l2 - 1) / l1);
			step -= k; dep += k;
			ans.A[0] += k * l1; ans.A[1] += k * l1;
		}
		else {
			int k = min(step, (l1 - 1) / l2);
			step -= k; dep += k;
			ans.A[1] -= k * l2; ans.A[2] -= k * l2;
		}
		if(step) return ans.jump(step);
		return ans;
	}
} st, en;

int main() {
	int a = read(), b = read(), c = read();
	st = Sta(a, b, c);
	a = read(); b = read(); c = read();
	en = Sta(a, b, c);
	
	Sta tmp1, tmp2; int h1, h2;
	dep = 0; tmp1 = st.jump(oo); h1 = dep;
	dep = 0; tmp2 = en.jump(oo); h2 = dep;
	if(tmp1 != tmp2) return puts("NO"), 0;
	puts("YES");
	if(h1 < h2) swap(h1, h2), swap(st, en);
	st = st.jump(h1 - h2);
	int l = -1, r = oo + 1;
	while(r - l > 1) {
		int mid = l + r >> 1;
		if(st.jump(mid) == en.jump(mid)) r = mid; else l = mid;
	}
	
	printf("%d\n", (++l << 1) + h1 - h2);
	
	return 0;
}