[OJ#39]左手右手

[OJ#39]左手右手

试题描述

有 n 个人，每个人左右手上各写着一个整数。对于编号为 a 的人和编号为 b 的人， a 对 b 的好感度等于 a 左手上写的数字乘 b 右手上写的数字，a 和 b 的好感度差异等于 a 对 b 的好感度与 b 对 a 的好感度之差的绝对值。

现在，你要从这 n 个人中找出两个人使得他们的好感度差异最大。

输入

第一行一个整数 n。

接下来 n 行，每行两个整数 a_i,b_i，分别表示第 i 个人左右手上写的数字。

输出

输出一个整数表示好感度差异的最大值。

输入示例

5
9 -1
7 8
-2 4
9 -6
3 5

输出示例

114

数据规模及约定

2≤n≤10⁵，−10⁹≤a_i,b_i≤10⁹

题解

首先我们可以发现两个人 i, j 的好感度差异就是两个向量 (a_i, b_i) 和 (a_j, b_j) 的叉积的绝对值。那么要让这个值最大，就是要选择两个向量使得它们围成的三角形面积最大。

我们不妨先枚举其中一个向量 x，可以发现与它叉积绝对值最大的向量 y 一定在凸包上。我们做平行于向量 x 的直线，显然如果向量 y 的终点在直线上，这条直线离原点越远越好，所以一定是在凸包上的。

所以我们先处理出凸包，然后把所有向量按照极角排序，用旋转卡壳的方法去做就可以 O(n) 了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 100010
#define LL long long

struct Vec {
	LL x, y;
	Vec() {}
	Vec(LL _, LL __): x(_), y(__) {}
	
	Vec operator - (const Vec& t) const { return Vec(x - t.x, y - t.y); }
	LL operator ^ (const Vec& t) const { return x * t.y - y * t.x; }
	
	bool operator < (const Vec& t) const { return x != t.x ? x < t.x : y < t.y; }
} ps[maxn], poly[maxn];
int cntp, S[maxn], top;

bool cmp(Vec a, Vec b) {
	return atan2((double)a.y, (double)a.x) > atan2((double)b.y, (double)b.x);
}

#define nxt(x) (x + 1) % cntp
#define pre(x) (x + cntp - 1) % cntp

int main() {
	int n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int a = read(), b = read();
		ps[i] = Vec(a, b);
	}
	
	sort(ps + 1, ps + n + 1);
	S[top = 1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		while(top > 1 && (ps[S[top]] - ps[S[top-1]] ^ ps[i] - ps[S[top]]) >= 0) top--;
		S[++top] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= top; i++) poly[cntp++] = ps[S[i]];
	int upend = cntp - 1;
	S[top = 1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		while(top > 1 && (ps[S[top]] - ps[S[top-1]] ^ ps[i] - ps[S[top]]) <= 0) top--;
		S[++top] = i;
	}
	for(int i = top - 1; i > 1; i--) poly[cntp++] = ps[S[i]];
	
	sort(ps + 1, ps + n + 1, cmp);
	int l = 0, r = upend; LL ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		while(!((ps[i] ^ poly[nxt(l)] - poly[l]) > 0 ^ (ps[i] ^ poly[l] - poly[pre(l)]) > 0)) l = nxt(l);
		while(!((ps[i] ^ poly[nxt(r)] - poly[r]) > 0 ^ (ps[i] ^ poly[r] - poly[pre(r)]) > 0)) r = nxt(r);
		ans = max(ans, max(abs(ps[i] ^ poly[l]), abs(ps[i] ^ poly[r])));
	}
	printf("%lld\n", ans);
	
	return 0;
}