[codevs1157]2^k进制数
[codevs1157]2k进制数
试题描述
设r是个2k 进制数,并满足以下条件:
(1)r至少是个2位的2k 进制数。
(2)作为2k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。
在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<w≤30000)是事先给定的。问:满足上述条件的不同的r共有多少个?我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k的段,每段对应一位2k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k 进制数r。
例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(23=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。所以,满足要求的r共有36个。
输入
只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:k w
输出
是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。
(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)
输入示例
3 7
输出示例
36
数据规模及约定
见“试题描述”和“输出”
题解
w / k 向上取整是 2k 进制数的位数(令这个位数为 n),然后我们就相当于要填写 2、3、4、...、n 个 2k 以内的数字,并使得数字递减,求方案数,这个 dp 一下就好了。
提示:设 f[i][j] 表示填写前 i 个数且第 i 个数不小于 j 的方案数。这题要开滚动数组。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } return x * f; } struct LL { int len, A[210]; LL() {} LL operator = (const int& t) { if(!t){ A[1] = 0; len = 1; return *this; } len = 0; int T = t; while(T) A[++len] = T % 10, T /= 10; return *this; } LL operator + (const int& t) const { LL ans; ans = *this; ans.A[1] += t; for(int i = 2; i <= ans.len; i++) ans.A[i] += ans.A[i-1] / 10, ans.A[i-1] %= 10; while(ans.A[ans.len] > 9) ans.A[ans.len+1] = ans.A[ans.len] / 10, ans.A[ans.len] %= 10, ans.len++; return ans; } LL operator + (const LL& t) const { LL ans; ans = *this; ans.len = max(ans.len, t.len); for(int i = 1; i <= ans.len; i++) ans.A[i] += t.A[i]; for(int i = 2; i <= ans.len; i++) ans.A[i] += ans.A[i-1] / 10, ans.A[i-1] %= 10; while(ans.A[ans.len] > 9) ans.A[ans.len+1] = ans.A[ans.len] / 10, ans.A[ans.len] %= 10, ans.len++; return ans; } LL operator += (const LL& t) { *this = *this + t; return *this; } void print() { for(int i = len; i; i--) putchar(A[i] + '0'); return ; } } ; #define maxn 520 LL f[2][maxn], ans; int main() { int w = read(), k = read(); int n = k % w ? k / w + 1 : k / w, mod = k % w, m = (1 << w) - 1; if(n < 2) return puts("0"), 0; bool cur = 0; for(int i = m; i >= 0; i--) f[0][i] = f[0][i+1] + 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { cur ^= 1; f[cur][1<<mod] = f[cur][m+1] = 0; for(int j = (i == n && mod) ? (1 << mod) - 1 : m; j >= 0; j--) f[cur][j] = f[cur][j+1] + f[cur^1][j+1]; ans += f[cur][1]; } ans.print(); putchar('\n'); return 0; }
这题还要用高精度。。。虽说只有两个大点。