[BZOJ3672][UOJ#7][NOI2014]购票

[BZOJ3672][UOJ#7][NOI2014]购票

试题描述

 今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

       全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v  以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v  时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v  作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

输入

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

输出

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

输入示例1

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

输出示例1

40
150
70
149
300
150

输入示例2

传送门（点击下载）

输出示例2

传送门

数据规模及约定

对于所有测试数据，保证 0≤p_v≤10⁶，0≤q_v≤10¹²，1≤f_v<v；保证 0<s_v≤l_v≤2×10¹¹，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×10¹¹。

输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：

当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 f_v=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；

当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 l_v=2×10¹¹，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；

当 t=3 时，数据没有特殊性质。

n=2×10^5

题解

借着此题学了学有根树分治

首先不难想出一个dp，设f(i)表示节点 i 到节点 1 所需的最小花费，有 f(i) = min{ f(j) + d(i ~ j) * p(i) + q(i) | j 为 i 祖先 & d(i ~ j) <= l(i) }，其中d(i ~ j)表示节点 i 到 j 的距离，p, q, l 的意义见题目描述。

还是基本的思想，把d(i ~ j)拆开，变成dep(i) - dep(j)（dep(i)表示节点 i 到根的距离），于是上述式子转化成 f(i) - dep[i] * p(i) - q(i) = min{ f(j) + p(i) * dep(j) | 条件略 }，可以用分治把它转化成一个序列问题，有一定顺序后就可以维护下凸壳了。

分治的思想是：对于子树u，找到其重心rt，分治处理u所在的以rt为根的子树，然后用u到rt这一条链上的信息更新以rt为根的其他子树上节点的信息。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define LL long long
#define LD double

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
LL read() {
    LL x = 0, f = 1; char c = Getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
    return x * f;
}

#define maxn 200010
#define maxm 400010
#define oo 1ll << 60
int n, m, head[maxn], next[maxm], to[maxm], fa[maxn];
LL dep[maxn], f[maxn], p[maxn], q[maxn], l[maxn];

void AddEdge(int a, int b) {
	to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m;
	swap(a, b);
	to[++m] = b; next[m] = head[a]; head[a] = m;
	return ;
}

int root, size, siz[maxn], g[maxn];
bool vis[maxn];
void getroot(int u, int pa) {
	siz[u] = 1; int maxs = 0;
	for(int e = head[u]; e; e = next[e]) if(!vis[to[e]] && to[e] != pa) {
		getroot(to[e], u);
		siz[u] += siz[to[e]];
		maxs = max(maxs, siz[to[e]]);
	}
	g[u] = max(maxs, size - siz[u]);
	if(g[u] < g[root]) root = u;
	return ;
}

int A[maxn], cnt;
void dfs(int u, int pa) {
	A[++cnt] = u;
	for(int e = head[u]; e; e = next[e]) if(!vis[to[e]] && to[e] != pa)
		dfs(to[e], u);
	return ;
}
bool cmp(int i, int j) { return dep[i] - l[i] > dep[j] - l[j]; }
LD slop(int i, int j) { return (LD)(f[i] - f[j]) / (dep[i] - dep[j]); }
int Q[maxn];
void solve(int u) {
	g[root = 0] = n+1; getroot(u, 0);
	int ni = root, rt = root; vis[root] = 1;
	if(!vis[u]) size = siz[u] - siz[rt], solve(u);
//	printf("%d %d\n", u, ni);
	cnt = 0;
	for(int e = head[ni]; e; e = next[e]) if(!vis[to[e]]) dfs(to[e], ni);
	sort(A + 1, A + cnt + 1, cmp);
	for(int i = fa[ni]; i != fa[u] && dep[i] >= dep[ni] - l[ni]; i = fa[i])
		f[ni] = min(f[ni], f[i] + (dep[ni] - dep[i]) * p[ni] + q[ni]);
	for(int i = 1, r = 0; i <= cnt; i++) {
		for(; ni != fa[u] && dep[ni] >= dep[A[i]] - l[A[i]]; ni = fa[ni]) {
			while(r > 1 && slop(Q[r-1], Q[r]) <= slop(Q[r], ni)) r--;
			Q[++r] = ni;
		}
		int L = 1, R = r + 1;
		while(R - L > 1) {
			int M = L + R >> 1;
			if(M == 1 || slop(Q[M-1], Q[M]) >= (LD)p[A[i]]) L = M;
			else R = M;
		}
		if(L < R) f[A[i]] = min(f[A[i]], f[Q[L]] + (dep[A[i]] - dep[Q[L]]) * p[A[i]] + q[A[i]]);
	}
	for(int e = head[rt]; e; e = next[e]) if(!vis[to[e]]) {
		size = siz[to[e]]; solve(to[e]);
	}
	return ;
}

int main() {
//	freopen("ex_ticket2.in", "r", stdin);
//	freopen("out.out", "w", stdout);
	n = read(); read();
	f[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		f[i] = oo;
		fa[i] = read(); AddEdge(fa[i], i);
		dep[i] = dep[fa[i]] + read();
		p[i] = read(); q[i] = read(); l[i] = read();
	}
	
	size = n;
	solve(1);
	
	for(int i = 2; i <= n; i++) printf("%lld\n", f[i]);
	
	return 0;
}