威尔逊定理

一、定理内容

当$p$为质数的时候，$(p-1)+1$可以被$p$整除，

也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$)，即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $

该条件为$p$为质数的充分必要条件

二、证明

　当p为完全平方数时：

　当p不是完全平方数时：

三、应用

　例一：

　　给定一个正整数$n$，求$n-1)! mod n$的值。
　　数据范围：$2<=n<=1e9$

考虑n为质数与不为质数两种情况：
    当 n 为素数时，这个就是威尔逊定理，答案为n-1；
    当n不为素数时，我们在证明威尔逊定理的充分性时，已经对它进行了一个分类：
        当n=4时，结果为 2；
        否则，可以根据 完全平方数 和 非完全平方数，均得到结果为 0。

例一思路

　例二：

　　给定$n$的值，用下面的公式求$S_n$，公式中的[ ]指的是向下取整。