数论之欧几里德gcd

序：这篇博客我最开始学的时候写的，后来又学了一遍，自我感觉这篇好像有问题，扩展欧几里得建议走这边

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首先先说，欧几里德一共有俩，欧几里德和扩展欧几里德，前者非常简单，后者直接变态（因为我太菜）

gcd = 最大公因数

普通欧几里德

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 先说普通的，就是辗转相除法求最大公因数，辗转相除就是基本数论，不讲了直接上代码

int gcd( int a,int b ){
    if( b == 0 ) return a;
    return gcd( b,a%b );
}

递归终止的边界就是a是b的倍数，也就是 a%b == 0

 其中保证b一定是不大于a的，也就是说一直是b $\le$ a ，所以判断b是否为0就好了

 

扩展欧几里德

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然后就到了一个变态的东西了

先引入一个东西，叫裴蜀定理

搞定了裴蜀定理，下面就能证了：

我们这里有两个数，a,b $\in$ N 且 a,b互质。

对于a，b来说，一定存在 x,y $\in$ N满足；

　　ax + by = 1 = gcd( a,b )

已知gcd( a,b ) = gcd( b,a%b )

且因为a,b互质，则 gcd( b,a%b ) 的值一定也为 1，

 

插一句再往下走，避免看不懂：

1.　对于任意的两个数a,b $\in$ N (a $\ge$ b)必然满足：
　　　　a = bx + r  (r $\le$ b)
　　而其中，我们用 a%b 表示余数 r
　　因为 r 也可以用 a - b$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ 来表示   ( $\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ 表示x )
　　即$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ 和 a%b 都是表示 r ，故可以替换

2.   下文中的x'，y'就是对于 bx' + (a%b)y' = gcd(b,a%b) = 1 中 x',y' 的解

 

所以也一定存在 bx' + ( a - b$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ )y' = 1 

即 bx' + ( a - b$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ )y' = ax + by

再移一下项，可以得到 a( x-y ) b(  y-( x' - $\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ y' )  ) = 0 （想自己手推的同志们可以自己试一试）

最后可以得到x = y' 且 y = x' - $\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ y'

特殊的，当b = 0 的时候，(a,0) 对应的x = 1,y = 0