简单了解一下笛卡尔积定义和运算规则

最近在学习MYSQL JOIN语句的执行顺序和原理时，提到了笛卡尔积的概念，于是就想着了解一下笛卡尔积的概念和运用并进行记录，方便以后复习。

 

定义：

笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。

假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

 

 

 

实例：

1、给出三个域：

D1=SUPERVISOR = { 张清玫，刘逸 }

 

D2=SPECIALITY= {计算机专业，信息专业}

 

D3=POSTGRADUATE = {李勇，刘晨，王敏}

 

则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

 

D=D1×D2×D3 ={(张清玫, 计算机专业, 李勇), (张清玫, 计算机专业, 刘晨),

(张清玫, 计算机专业, 王敏), (张清玫, 信息专业, 李勇),

(张清玫, 信息专业, 刘晨), (张清玫, 信息专业, 王敏),

(刘逸, 计算机专业, 李勇), (刘逸, 计算机专业, 刘晨),

(刘逸, 计算机专业, 王敏), (刘逸, 信息专业, 李勇),

(刘逸, 信息专业, 刘晨), (刘逸, 信息专业, 王敏)}

 

这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。

 

2、实例二：

        

R有三个属性ABC,每个属性内有三个元素,如图中R方框所示.

S有三个属性ABC,每个属性内有三个元素,如图中S方框所示.

R乘以S是这样计算的:

(每一行元素称为一个元组)

Ra  Rb  Rc  Sa  Sb  Sc分别代表R中的abc属性,S中的abc三个属性.

先用R中的第一个元组分别和S中的三个元组相乘,得到如下

Ra  Rb  Rc  Sa  Sb  Sc

a1   b1  c1   a1   b2   c2

a1   b1  c1   a1   b3   c3

a1   b1  c1   a2   b2   c1

再用R中的第二个元组分别和S中的三个元组相乘,得到如下

Ra  Rb  Rc  Sa  Sb  Sc

a1   b2  c2   a1   b2   c2

a1   b2  c2   a1   b3   c3

a1   b2  c2   a2   b2   c1

再用R中的第三个元组分别和S中的三个元组相乘,得到如下

Ra  Rb  Rc  Sa  Sb  Sc

a2   b2  c1   a1   b2   c2

a2   b2  c1   a1   b3   c3

a2   b2   c1  a2   b2   c1

最后将这三种计算出来的阵列按照Ra  Rb  Rc  Sa  Sb  Sc排列好,就能得到上面右边方框中R乘以S得到的广义笛卡尔积了. 

 

参考文档：

https://www.bilibili.com/read/cv5013688/

https://baike.baidu.com/item/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E4%B9%98%E7%A7%AF/6323173?fr=aladdin