算法和复杂度

1、什么是算法

　　算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

2、时间复杂度

　　算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。

　　这里有段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。

1 public int cal(int n) {
2     int sum = 0;
3     int i = 1;
4     for (; i <= n; ++i) {
5         sum = sum + i;
6     }
7     return sum;
8 }

　　从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 t。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

　　第 2、3 行代码分别需要 1 个 t 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nt 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)t。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

　　按照这个分析思路，我们再来看这段代码。

 1 public void cal(int n) {
 2     int sum = 0;
 3     int i = 1;
 4     int j = 1;
 5     for (; i <= n; ++i) {
 6         j = 1;
 7         for (; j <= n; ++j) {
 8             sum = sum +  i * j;
 9         }
10     }
11 }

　　我们依旧假设每个语句的执行时间是 t。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

　　第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个t的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n遍，需要 2nt的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n^2遍，所以需要 (2n^2)t 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n) = (2n^2+2n+3)t。

　　尽管我们不知道 t 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律:

　　所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比，即T(n) = O((f(n))。

　　我来具体解释一下这个公式。其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

　　所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

3、时间复杂度分析

　　如何分析一段代码的时间复杂度？下面是三个比较实用的方法：

　　a.只关注循环执行次数最多的的一段代码

　　b.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

　　c.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

4、O(m+n) 、O(m*n)

　　我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩，先看代码！

 1 public int cal(int m,int n) {
 2     int sum_1 = 0;
 3     int i = 1;
 4     for (; i < m; ++i) {
 5         sum_1 = sum_1 + i;
 6     }
 7     int sum_2 = 0;
 8     int j = 1;
 9     for (; j < n; ++j) {
10         sum_2 = sum_2 + j;
11     }
12     return sum_1 + sum_2;
13 }

　　从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

　　针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m)*f(n))。

　　最后附上常见的时间复杂度。

O(1)	常数阶
O(n)	线性阶
O(n^2)	平方阶
O(logn)	对数阶
O(nlogn)	线性对数阶
O(n^3)	立方阶
O(2^n)	指数阶
O(n!)	阶乘阶

5、空间复杂度分析

　　大O表示法和时间复杂度分析，理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

　　前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

　　我还是拿具体的例子来给你说明。

 1 public void printNum(int n) {
 2     int i = 0;
 3     int[] a = new int[10];
 4     for (; i < n; ++i) {
 5         a[i] = i * i;
 6     }
 7     for (i = n - 1; i >= 0; --i) {
 8         System.out.println(a[i]);
 9     }
10 }

　　跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

　　我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

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本文作者：向阳最优秀
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