最下生成树原理
转自 http://www.slyar.com/blog/kruskal-disjoint-sets-c.html
Kruskal比较适用于稀疏图，是一种贪心算法:为使生成树上边的权值和最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能地小。
具体做法:找出森林中连接任意两棵树的所有边中，具有最小权值的边，如果将它加入生成树中不产生回路，则它就是生成树中的一条边。这里的关键就是如何判断"将它加入生成树中不产生回路"。
《算法导论》提供的一种方法是采用一种"不相交集合数据结构"，也就是并查集了。具体的实现看代码好了，反正核心内容就是如果某两个节点属于同一棵树(Find_Set)，那么将它们合并(Union)后一定会形成回路。
编写程序:对于如下一个带权无向图，给出所有边以及权值，用kruskal算法求最小生成树。
输入数据:
11
A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11
输出:
A - D : 5
C - E : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - G : 9
Total:39
代码如下，其实代码可以优化的地方很多，例如当生成树的边数已经等于n-1时即可停止循环...因为不是ACM题，故优化省略不写，只当做算法学习...
维基百科上介绍：
步骤
- 新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边
- 将原图中所有的边按权值从小到大排序
- 从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中
- 重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中
[编辑]证明
- 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，因此图G构成一个树。
- 为什么这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边
- 要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法：如果这条边不在最小生成树中，它连接的两个连通分量最终还是要连起来的，通过其他的连法，那么另一种连法与这条边一定构成了环，而环中一定有一条权值大于这条边的边，用这条边将其替换掉，图仍旧保持连通，但总权值减小了。也就是说，如果不选取这条边，最后构成的生成树的总权值一定不会是最小的。
[编辑]性质（MST性质）
- 1.若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从图中任意一个顶点出发调用一次bfs或dfs后，便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs，亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图，称为原图的生成树。
- 2.对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后，一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点，还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成森林。
- 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
- 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
[编辑]时间复杂度
O(Elog2E)
[编辑]算法
KRUSKAL-FUNCTION(G, w)
1 F := 空集合
2 for each 圖 G 中的頂點 v
3 do 將 v 加入森林 F
4 所有的邊(u, v) ∈ E依權重 w 遞增排序
5 for each 邊(u, v) ∈ E
6 do if u 和 v 不在同一棵子樹
7 then F := F ∪ {(u, v)}
8 將 u 和 v 所在的子樹合併
