Leetcode每日一题 115. 不同的子序列
由于对于动归了解不够深入，以及没有用动归做过类似的字符串匹配题目，导致今天这道题花费了整整一个下午，外加看了别人说要用动归才想出来，害，真菜。
115. 不同的子序列
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
示例 1：
输入：
s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。 (上箭头符号 ^ 表示选取的字母) rabbbit ^^^^ ^^ rabbbit ^^ ^^^^ rabbbit ^^^ ^^^
示例 2：
输入：
s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。 (上箭头符号 ^ 表示选取的字母) babgbag ^^ ^ babgbag ^^ ^ babgbag ^ ^^ babgbag ^ ^^ babgbag ^^^
提示：
0 <= s.length, t.length <= 1000s和t由英文字母组成
这种题，难度还是困难，递归暴力肯定是第一个排除的，想都不要去想。
就从这道题开始我的字符串动归的学习之路吧，首先是看到这道题思考，要如何去使用动态规划去保证你能够得到你想要的结果。
第一件事就是建立dp数组，一定要深刻理解dp数组中每一个元素的含义以及下标的含义。不然永远学不会。
那么怎么去建立呢，抱歉，我也想不到，不过得到大佬的提示还是知道了要建立一个二维数组，原因是 dp[i][j] 代表了 s字符串 0~i-1 中 包含了多少个 0~j-1 个t ，又是熟悉的边界坑，有人可能会问，为什么dp数组的下标里明明是i,j，却代表的是字符串中i-1和j-1啊之类的，那是因为，dp数组为了把子串为空的情况考虑进去，比如说 s = “bba” 匹配 t = "b" 首先要考虑的不是 s中的"b" 是否匹配t中的 "b" 而是考虑 s 中的空字符 " " 是否匹配 t中的空字符 " "，然后才是s中的 "b" 是否匹配空字符等等，看到这应该明白了吧，也就是说dp数组扩充了边界，加入了s与t的子串为空的情况，因为s与t中又没有真正的空串,所以判断s,t的时候下标要减一，才能对应上dp[i][j]。
先把动归的转移方程摆上来，方便下面的例子解释：
if(s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]; else dp[i][j] = dp[i-1][j];
其实这道题不难，难点是你不知道这个dp数组为什么这样求就是正确答案，不明白转移方程的含义，无法把大问题分成子问题，迭代过程不清晰，所以就是很懵，我们先从这一点开始理解，就是先抛弃那些逻辑关系，我们已经知道dp[i][j]代表了 s字符串 0~i-1 中 包含了多少个 0~j-1 个t 对吧，意思就是dp[i][j] 就是一个解，一个答案，那么我们这样想，假如我们已经知道了"bagg" 里面有多少个"bag" ，是dp[4][3] = 2 ，实质题目是求"baggg"里面有多少个"bag"，此时是不是就相当于往"bagg"后面多加了一个"g"，对吧，那么我们略过t中的"b"与"ba"，直接到判断"bag”这里来，此时s[i-1] = "g" ,t[i-1] = "g" , 相同，所以等于dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];为什么是这两个相加呢。想象一下，假设我们加入的是一个“？”字符，先不管它是什么，现在是不是变成了“bagg?” ,但是，在之前我们已经得知了“bagg”里面有多少个"bag"，现在即使多了个字符，之前的答案是不是必须要加进来的，也就是dp[i-1][j],然后现在“g”进来了，它与"bag"最后一个字符串“g”相同，也就是说，我们可以拿它与最后一个“g”相匹配，也可以选择不与“g”相匹配，所以匹配与不匹配造成了两种结果，就是说"bag"可以用"ba”跟这个"g”组合成一个“bag” 它也可以跟另外两个"g”组合，意思就是因为进来了这个"g",之前所有的“ba”又可以和这个"g"组成一个新的"bag",把这个“g”考虑进来，就得到了dp[i-1][j-1]，区别是j变成了j-1,因为“g”被用来匹配了，而不用“g”，就相当于进来了个“z”,变成了"baggz"，那此时dp[i][j]的结果必然就是跟不加“z”之前一样的为dp[i-1][j],是一个道理。所以必须要用dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]才是正确答案。
所以思维方式必须是我们已知dp[i][j]的答案，然后判断下一个字符加进来时，会造成什么样的后果就行了，然后组成一个完整的字符串。
贴上代码观看：
class Solution { public: int numDistinct(string s, string t) { int n = s.length(); int m = t.length(); vector<vector<long>> dp(n+1,vector<long>(m+1)); for(int i = 0 ; i <= n ; i++)dp[i][0] = 1; for(int i = 1 ; i <= m ; i++)dp[0][i] = 0; for(int i = 1 ; i <= n ; i++) { for(int j = 1 ; j <= m ; j++) { if(s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]; else dp[i][j] = dp[i-1][j]; } } return dp[n][m]; } };
