线性代数及其应用（一）

线性方程组：

包含变量x₁,x₂，……，x_n的线性方程是形如

　　　　　　　　　　a₁x₂ +a₂x₂+...+a₃x₃  = b 

的方程，其中b与系数a₁   ，a₂  ，…… ，a_{n是实数或者复数，通常是已知数，下标n可以是任意正整数。}

 

线性方程组的解有下列三种情况：

①无解

②有唯一解

③有无穷多解

 

若一个线性方程组有一个解或无穷多个解，则称它是相容的，若它无解，则称它是不相容的。

 

初等行变换：

①（倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和

②（对换变换）把两行对换

③（倍乘对换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数

 

行变换可以施与任何矩阵，不仅仅是对于线性方程组的增广矩阵，若其中一个矩阵可以经过一系列初等行变换变换成另外一个矩阵，则我们称这两个矩阵是等价的。

若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

 

行简化与阶梯形矩阵

定义：一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），则它有已下三个性质：

①每一非零行都在每一零行之上

②某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边

③某一先导元素所在列下方元素都是零

一个矩阵称为简化阶梯形，则它满足以下性质：

①每一非零行的先导元素是1

②每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素

 

通常将矩阵变换成简化阶梯形矩阵的过程称为高斯消元法。（计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元，可以减少舍入误差）

但某些条件下高斯消元法不适用，使用的是部分主元法（列主元高斯消元法）

 

原因：

 

 

 

 

 

 

 

 图片来自：https://www.zhihu.com/question/33862337

 

部分主元法思想：在进行第k(k=1,2,3...n-1)步消元时，从第k列的a_kk及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素a_kk的位置上，再进行消元。