最近学习了扩展欧几里得和乘法逆元的关系，在这里写一下巩固一下记忆
扩展欧几里得是什么呢，在这就不详解了，可以自行百度，主要来说，对于 求解ax ≡ 1(mod n)来说，当gcd(a,n)=1时，证明逆元存在，若不等于1，则证明逆元不存在。
那么当逆元存在时，我们要如何求它的逆元呢？
首先是扩展欧几里得定理，先将式子转换成 ax-ny = 1 的形式，然后我们要通过扩展欧几里得定律去获得它的最大公约数，还有它的一组解 X0,Y0
1 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
2 {
3 if (b == 0)
4 {
5 x = 1;
6 y = 0;
7 return a;
8 }
9
10 int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
11 int tmp = x;
12 x = y;
13 y = tmp - (a / b)*y;
14 return mod;
15 }
然后是判断
1 int Inverse_element(int a, int n)
2 {
3 int gcd, x, y;
4 gcd = exgcd(a, n, x, y);
5 cout << x << endl;
6 if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
7 else return -1;
8 }
当gcd == 1时 证明此方程有解，并且前面已经通过扩展欧几里得定理得出了它的一组解 X， 然后我们可以通过(x%n +n )%n 防止 x 是负数情况，保证是以正整数返回。
最后是整个代码，这样，一个简单的求逆元的程序就出来了：
1 #include<iostream>
2 #include<malloc.h>
3 #include<string>
4 #include<cmath>
5 #include<conio.h>
6
7 using namespace std;
8
9 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
10 {
11 if (b == 0)
12 {
13 x = 1;
14 y = 0;
15 return a;
16 }
17
18 int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
19 int tmp = x;
20 x = y;
21 y = tmp - (a / b)*y;
22 return mod;
23 }
24
25 int Inverse_element(int a, int n)
26 {
27 int gcd, x, y;
28 gcd = exgcd(a, n, x, y);
29 cout << x << endl;
30 if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
31 else return -1;
32 }
33
34 int main(int argc, const char * argv[])
35 {
36 int a, n;
37 cin >> a >> n;
38 int mod = Inverse_element(a, n);
39 cout << mod <<endl;
40 _getch();
41 return 0;
42 }
