自动扫雷——概率分析之数学实现

前面的《自动扫雷》系列博文介绍了如何从XP自带的扫雷游戏中获取游戏、分析确定情况下的雷块，以及操作鼠标完成游戏。这篇将介绍如何使用数学中的概率知识来玩扫雷游戏，也正是本人最想介绍的地方，即《前言》中所说的第四种扫雷模型的分析。

先看游戏界面，如下：   

在游戏开始时，如何出现这样的情况，我们可以认为游戏中未显示块按概率相等可分为四个区域，其中a,b,c是其中的三个区域（a区域指上面的5个块，b区域指中间的3个块，c区域指下面的5个块），再加上不与已揭开块相邻的所有块构成一个区域d（d区域含有465块）。那么这四个区域中哪个区域有雷的概率最小呢？

这里直接说明所使用的数学方法叫做——条件概率和全概率公式。

条件概率可以说是计算机领域的一个功臣，由其发展而来的“统计语言模型”实现了机器翻译、语音识别、汉字识别等一系列的用传统方法很难解决的问题。而以其为基础的“贝叶斯公式”在图像处理、决策支持系统和博弈论中有着广泛的应用。

维基百科中给的定义是：条件概率就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。

而全概率为：

假设{ B_n : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合B_n是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：

又因为

此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：

 

用自己的话说，条件概率是在某件事发生的情况下，另一件事的概率；全概率是将所有情况的概率加起来。

而在扫雷游戏中有什么“所有情况”呢？

看上面的游戏场景，a,b,c所占的13个块，如果仅仅根据上面所显示的"1","2"，可以说这13个块中，雷的总数可以有2个，也可以有3个！！并且有2个或者3个的概率分别是1/2。

 那么其情况如下：

上表说明当雷数为2时，abc有雷的概率分别为0,1/3,1/5；当雷数为3时，abc有雷的概率分别为1/5,0,2/5。

可算出

a区域有雷的概率为0*1/2+(1/5)*(1/2)=1/10

b区域有雷的概率为(1/2)*(1/3)+0*1/2=1/6

c区域有雷的概率为(1/2)*(1/5)+(1/2)*(2/5)=3/10

而d区域的概率同理也算出为(1/2)*(97/465)+(1/2)*(96/465)=193/930

可知，a区域有雷的概率最小，故可以在此5块中随机选一块点击了，然后一切就交给上苍了~~（在不用类似查看内存的方法的情况下，人做的就只有这么多了）

到此，数学原理已介绍完毕，用一句话总结，即，先找出按区域划分的未显示块，然后分类讨论这些区域中雷的总个数。接下来的一篇博文（也是本系列最后一篇），将介绍如何将上面的数学运算用程序代码实现。

批注：从自己想到数学实现到想明白如何用程序代码实现，应该有两年之多，当然只是偶尔无聊时才思考一下。不过，在思考这个实现过程中，自己开始一直在用数学的思路而没有用代码的思路去思考，故一直行不通。当自己用代码实现后，感觉自己的思维又有了新的提高~~