snnu1120: 划分数（DP计数问题）
1120: 划分数
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Description
有n个无区别的物品，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。
限制条件
1 <= m <= n <= 1000
2 <= M <= 10000
Input
每组测试数据输入一行n, m, M。
Output
输出划分数模M的余数。
Sample Input
42 468 6335
Sample Output
2494
HINT
组合数学
Source
可以将问题转变成x1+x2+x3+x4+x5+x6+.....xk+.....xm=n； 0<=xk;
这类问题一般有这样的限制:每个数的最大值,最小值,每个数是否可以相同. 相当于求不定方程x的非负整数解,但是n等于4时1 1 2和1 2 1根据题意，物品是相同的，所以这两种是一样的，
所以不能用校赛那道球放盒子的那种方式， （考虑第i个盒子，放k个，d[i][j]+=d[i-1][j-k];0<=k<=m),
从整体进行考虑，对于每一个减去1，由于最小数可能为0，所以有两种情况，一种是最小数为0，一种是最小数为1，
d[m][n]=d[m][n-t]+d[m-1][n],最小数为1，减去一，最小数为0，直接去掉0。，初始化d[0][0]=1,
这种方式为什么可以去重呢？ 当有多个最小值为0时，由于去0时没有考虑去掉的是哪一个,所以去0操作跟位置没有关系。
(最小数为0，可能有多个，假设是k个，去k次，跟位置无关，去k次就可去完)
假设这个数是0,0,2,不考虑位置的去0,所以可以去重. 将n个数划分为m个不同的正整数解，且最大值小于n
f1[t][x]=f[t][x-t]+f[t-1][x-t]-f[t-1][x-(n+1)] 将n个数划分为m个不同的正整数解
f2[t][x]=f2[t][x-t]+f2[t-1][x-t] 下面这两种情况去掉了1 1 2和1 2 1类似的重复情况。 将n个数划分为m个非空集合
f3[t][x]=f[t][x-t]+f[t-1][x-1]
(最小数为1，去掉一个,如果最小数有多个，由于没有考虑去掉的是哪一个，所以1 1 2， 1 2 1是相同的情况) 将n个数划分为m个可为空的集合
d[m][n]=d[m][n-m]+d[m-1][n]
(最小数为0，可能有多个，假设是k个，去k次，跟位置无关，去k次就可去完) d[m][n]=f3[1][n]+f3[2][n]+f3[3][n]+.....f[k][n]+....f[m][n]; 扩展问题： 有n种物品，第i种物品有a[i]个，不同种类的物品可以互相取分，但相同种类的无法区分，
从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？ 解法1
d[i+1][j]
代表将前i种物品中取出j个，并且每种物品最多去a[i]个，
d[i+1][j]+=d[i][j-k] 0<=k<=min(j,a[i]); 解法2
d[i+1][j]=d[i+1][j-1]-d[i][j-1-a[i]]+d[i][j]
要求得是从前i个物品中取出j个的方案数，由于此题中1 1 2和1 2 1这两种是不同的，
所以不用考虑重复，这样就不能给每个数都减去1，我们可以考虑给第i个数减去1，
a: 当第i个数>=1时，d[i+1][j-1]等于d[i+1][j],然而第i个数的最大值要小于等于a[i]，
再正着看回去，d[i+1][j-1]肯定满足条件，如果给它的第i个数等于a[i],加上1之后，
d[i+1][j]就不满足条件了,所以需要减去d[i][j-1-a[i]];
b: 当第i个数等于0时，d[i][j]=d[i+1][j].
#include <iostream> #include <cstdio> #include <string.h> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; #define maxn 1100 int n,m,MOD; int d[maxn][maxn]; void init() { memset(d,0,sizeof(d)); /* for(int i=1;i<=maxn;i++) { d[i][1]=1; d[i][0]=1; }*/ } void solve() { d[0][0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=0;j<=n;j++) { if(j>=i) d[i][j]=(d[i][j-i]+d[i-1][j])%MOD; else d[i][j]=d[i-1][j]%MOD; } printf("%d\n",d[m][n]); } int main() { while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD)) { init(); solve(); } return 0; }
扩展问题的代码：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> using namespace std; #define maxn 1100 int n,m; int a[maxn]; int dp[maxn][maxn]; int MOD; void init() { // memset(a,0,sizeof(a)); // memset(dp,0,sizeof(dp)); } void solve() { for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=1; for(int i=0;i<n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) { if(j-1-a[i] >= 0) { dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1] + dp[i][j] -dp[i][j-1-a[i] ] + MOD) %MOD; } else dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1] + dp[i][j] ) %MOD; } for(int i=0;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=m;j++) printf("%d ",dp[i][j]); printf("\n"); } } int main() { // freopen("test.txt","r",stdin); while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD)) { init(); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); solve(); } return 0; }
