Leetcode 96. 不同的二叉搜索树

题目链接

https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题解

首先定义一个函数G[n]:表示1...n构成的二叉搜索树的个数。1...n序列中的每个点都可以当做根节点，该节点左边的序列构成左子树，右边的序列构成右子树。比如给定一个序列[1,2,3,4,5,6,7],我们选取节点3为根结点。左子树为[1,2]构成，可以使用G[2]来表示；右子树[4,5,6,7]可以使用G[4]来表示（由G[n]的定义可知，[4,5,6,7]和[1,2,3,4]构成的子树个数相同）。我们使用f(3, 7)来表示序列长度为7，根结点为3时构成的二叉搜索树的个数，则f(3,7) = G[2] * G[4];我们可以推导出f(i, n) = G[i-1] * G[n - i].
由以上分析可知：

G[n] = G[0] * G[n-1] + G[1] * G[n - 2].....G[n-1] * G[0];

分别选取每一个数作为根结点。由上式可知，要计算出G[n]，需要先计算出G[0],G[1]...，运用动态规划的思想求解。

具体分析：
https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/discuss/31666/DP-Solution-in-6-lines-with-explanation.-F(i-n)-G(i-1)-*-G(n-i)

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = G[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}