算法--动态规划

　　动态规划需要弄清楚两个问题，首先子问题的最优解，其次重叠子问题。首先来看一个问题吧：

有3种硬币，对应的面值是1、2、4，如果要组成11元，最少需要几枚硬币呢？

思路：考虑组成0元，需要0枚硬币；f(0) = 0。这里设f(n)为组成n元最少需要的硬币数;

　　　考虑组成1元，需要1枚硬币，f(1) = 1;

　　　考虑组成2元，可以有：f(2) = min (f(1) + 1, f(0) + 1) = f(0) + 1= 1;

　　　考虑组成3元，可以有：f(3) = min (f(2) + 1, f(1) + 1) = f(1) + 1= 2;

可以看出f(n)依赖于f(i),f(j),,,等等，其中i,j都小于n，也就是说f(n)的解包含了子问题的最优解。另外在解f(1)、f(2),,,f(n)过程中，子问题的解被重复的利用到。

我们可以写出该问题的最优子结构：d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面。

　　现在可以了解下动态规划的一些概念。用动态规划求解问题的第一步就是描述最优解结构。考虑最优子结构先考虑两个方面：（1） 有多少个子问题被使用在原问题的一个最优解中，以及（2）在决定一个最优解中使用哪些子问题时有多少个选择。这其中第二个问题也是描述最优子结构的关键，上面的例子中考虑11元的最优解时，使用哪些子问题便有3个选择。除了最优子结构外，使用于动态规划仍需满足重叠子问题，也就说可以用递归的算法反复的求解同样的子问题，而不是总产生新的问题。动态规划算法每个子问题只解一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而没错查询表的时间为常数。另外动态规划算法是自底向上来求解，由上面的例子可以看出，求f(11)时，需要的子问题的值已计算过了。

　　动态规划算法的时间复杂度也是需要考虑的，一般来说，算法的时间复杂度依赖两个因素：1，求最优解时需要考虑的选择的个数；2，总共有多少个子问题。上面的例子有O(n)个子问题，且有三个选择来检查每个子问题，则时间复杂度是O(n)。

　　使用动态规划求解的问题也是较多，典型的例子有：

　　01背包问题；

　　LCS最长公共子序列问题；

　　有向无环图的最短路径问题（带权，不带权值的可以用深度/广度优先遍历来求）；

分析待以后再补充。