牛顿迭代法求解立方根
//计算一个数字的立方根,不使用库函数
//详细描述:
//接口说明
//原型:
//public static double getCubeRoot(double input)
//输入:double 待求解参数
//详细描述:
//接口说明
//原型:
//public static double getCubeRoot(double input)
//输入:double 待求解参数
//返回值:double 输入参数的立方根
牛顿迭代法原理:
对于求a的立方根,可以设f(x)=x^3-a,从而转换成求解f(x)=0,即求方程的根。
f(x)展开泰勒公式:f(x)=f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0,得出的x=x0-f(x0)/f'(x0)=g(x0),此时递归调用该式子可以逐步接近于最终结果。
为什么会接近于最终结果?当然,牛顿迭代并不是无条件收敛的。
首先,要保证f'(x0)!=0,这样f(x)=0将等价于x=x-f(x)/f'(x)。而x_k+1=xk-f(xk)/f'(xk)=g(xk),由迭代过程收敛性定理可得abs(g'(xk))<=L<1(具体证明请读者自行查找)。
g'(x*)=f(x*)*f''(x*)/[f'(x)]^2,x*为f(x)的一个根,所以g‘(x*)=0,g''(x*)=f''(x*)/f'(x*)!=0,只要f’‘(x*)!=0,则牛顿迭代法收敛。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define jingdu 0.0001 double newton_diedai(double a){ double xn,xn_1; xn=1; xn_1 = xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn)); while(xn-xn_1>jingdu || xn-xn_1<-jingdu){ xn = xn_1; xn_1 = xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn)); } return xn_1; } int main(void){ double a; scanf("%lf", &a); a = newton_diedai(a); printf("%.1f", a); system("pause"); return 0; }