求两个数的最大公约数与最小公倍数

 

辗转相减法

 //相减法计算两个数的最大公约数和最小公倍数
    void sub(int num1, int num2) {
        int x, y;  //用于保存num1,num2初始数据
        x = num1;
        y = num2;
        while(num1 != num2) {           //循环条件为两数不相等
            if(num1 > num2)             //如果第一个数大于第二个数
                num1 = num1 - num2;     //两数相减
            else
                num2 = num2 - num1;
        }
        System.out.println("---------------------------------");
        System.out.println("利用相减法计算所得的最大公约数为:"+ num1);     //最大公约数
        System.out.println("利用相减法计算所得的最小公倍数为:"+ x*y/num1);    //最小公倍数
        System.out.println("---------------------------------");
    }

 

辗转相除法又叫欧几里得算法,是欧几里得最先提出来的.不过这个名字有点不好,就如同在数学里说欧拉定理这个词一样,你不知道说的是哪个定理,因为欧拉发现的定理实在是太多……辗转相除法的实现,是基于下面的原理(在这里用(a,b)表示a和b的最大公因数)：
　　

(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数.………………①
　　

也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.

要证明这个原理很容易：如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相等的.

基于上面的原理,就能实现我们的迭代相减法：
　　(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2
　　

基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.

　　用辗转相除法求(a,b).设r0=b,r1=a,反复运用除法算式,得到一系列整数qi,ri和下面的方程：
　　

相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小,上面右边就是每一步对应的缩小结果,可以看出,最后的余数rn就是a和b的公约数.我们以一个题为例说明基本过程.
　　

例题：求(326,78)
　　所以(326,78)=2.这和我们用迭代相减法算出来的结果是一样的.所以中学的同学们应该看到,迭代相减法和辗转相除法在本质上是一样的,相对来说,减法比较简单,但是除法步数少.

　　我们要看到的是,在辗转相除法中,我们必须算到最后一步才知道rn是不是所求的最大公因数,所以我们把n称作辗转相除法里的步数.

 

1. 辗转相除法（欧几里得算法）

• 原理：对于两个正整数 \(a\) 和 \(b\)（\(a > b\)），它们的最大公约数等于 \(b\) 和 \(a\) 除以 \(b\) 的余数 \(r\) 的最大公约数，即 \(\gcd(a, b)=\gcd(b, a \bmod b)\)。不断重复这个过程，直到余数为 0，此时的除数就是最大公约数。

using System;

class Program
{
    // 使用辗转相除法求最大公约数
    public static int GCD(int a, int b)
    {
        while (b != 0)
        {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }

    // 利用最大公约数求最小公倍数
    public static int LCM(int a, int b)
    {
        return a * b / GCD(a, b);
    }

    static void Main()
    {
        int num1 = 48;
        int num2 = 18;

        int greatestCommonDivisor = GCD(num1, num2);
        int leastCommonMultiple = LCM(num1, num2);

        Console.WriteLine("最大公约数: " + greatestCommonDivisor);
        Console.WriteLine("最小公倍数: " + leastCommonMultiple);
    }
}