CSP-J 2020 普及组讲解

CSP-J 2020

T1 优秀的拆分

题目的本质是求 \(n\) 的二进制表示。求 \(n\) 的二进制表示，或者每次暴力分解出小于等于 \(n\) 的最大的 \(2\) 的正整数次幂。时间复杂度 \(O(\log {n})\)。

T2 直播获奖

给定 \(n\) 个人的分数，对于每个 \(i\)，请你求出前 \(i\) 个人的第 \(k = \max (1, \lfloor p * w \% \rfloor)\) 大的分数。

求排名时避免使用浮点数运算。

50 分

对于前 \(i\) 个人的分数，暴力模拟。

时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)。

85 分

每次只新增一个人的成绩，用插入排序维护。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。

100 分

分数最大为 \(600\)，用桶排序求第 \(k\) 大分数。

时间复杂度 \(O(600 * n)\)。

考场造测试数据

T3 表达式

20 分

特殊考虑全为 & 或者 | 的情况，暴力模拟。

50 分

在 \(20\) 分的基础之上，模拟后缀表达式计算。

时间复杂度 \(O(q * n)\)。

100 分

T4 方格取数

25 分

暴搜。

35 分

考虑使用最优性剪枝，令 \(f[i][j]\) 表示到 \((i, j)\) 的最大得分，如果走到 \((i, j)\) 时得分不优于 \(f[i][j]\) 就不用搜下去。尝试后发现这样的局部剪枝是错误的。

这里忽略了一个问题，向上、向下、向右走到 \((i, j)\) 时，后续能够走的路径是不相同的。应该将其定义为 \(f[i][j][0], f[i][j][1], f[i][j][2]\) 表示向下、向右、向上走到 \((i, j)\) 时的最大得分，再做剪枝。

100 分

只能向右走，状态转移图存在拓扑序（所有状态朝着一个“方向”进行转移），满足无后效性。

又由于从某个方向到达某个格子的分数肯定越大越好，存在最优子结构。

因此分析得到本题的正解为动态规划，考虑使用记忆化搜索求解。

状态数 \(3 * n * m\)，每个状态最多做三个方向转移，因此总时间复杂度 \(3 * n * m * 3 = O(n * m)\)。