2024.7.13 模拟赛
int
将每一个浮点数乘上 \(10^9\)，然后问题就可以转化成，有多少对数的乘积至少包含 $18 $ 个末尾 \(0\)。
然后计算每一个数的 \(2\) 和 \(5\) 的因子数量。
统计一下 \(2\) 和 \(5\) 因子数量和都不小于 \(18\) 的数对数量即可。
math
显然要将所有数从大到小、从高位到低位依次填入，使高位的数尽量大。
可以贪心地选择将当前的数字要填在哪一个中。
假设两个数已填入的前缀分别为 \(a,b\)，当前数字为 \(c\)。
若将 \(c\) 放在 \(a\) 后，乘积为 \((10a+c)b\)。
若将 \(c\) 放在 \(b\) 后，乘积为 \((10b+c)a\)。
相减得 \(c(b-a)\)，我们要选择较大的乘积，若 \(b>a\) 则将 \(c\) 放在 \(a\) 后，若 \(a>b\) 则将 \(c\) 放在 \(b\) 后这只是一个感性的分析，但可以启示我们：将数放在当前较小的前缀后
写个暴力拍一拍，发现这样会错，需要加上一个补丁：当前缀相等时，放在可填的剩余位数较少的前缀后这样就可以了，比较大小与相乘的做法参考高精。
game
我们知道两个人选的一定都是一段区间。考虑枚举 Alice 第一个落子的位置 \(X\)，那么最终的答案肯定是区间 \([L,R]\)，其中 \(X \in [L,R]\)，\(R - L + 1 = \lceil \frac{n}{2} \rceil\)。
Bob 会尽量让 Alice 选择最差的区间。考虑最差的区间是否能被 Bob 逼出来。
假设第一次落子在 \(X\)，最差答案为 \([L,R]\)。假设 Bob 会落子在 \(Y\)。我们需要让除了 \([L,R]\) 之外的所有位置到 \(X\) 的距离比到 \(Y\) 的距离更长，这样才能保证这些位置被 \(Y\) 控制。那么 \(2L - X\) 就是一个极好的位置，如果 \(X\) 往一个方向延伸，我们对应把 \(Y\) 往这个方向延伸即可。也就是说，如果第一步下在 \(X\) 的位置，之后就会被逼到所有包含了 \(X\) 的 \([L,R]\) 中，\(A_L + A_{L + 1} + \cdots + A_{R}\) 最小的位置。单调队列维护这个东西即可。
以上描述全部在 \(\bmod N\) 意义下进行。
posters
\(k=1\) 时，直接输出唯一一张海报面积即可。
\(k=2\) 时，注意到一定是贴在相对的两个角旁边最优，直接计算面积并。
\(k=3\) 时，我们发现一个性质：最大的海报贴在角落是最优的。那么我们枚举剩下两张海报左上角的坐标，计算面积依然采用容斥原理。通过简单的剪枝或者保证较小的常数均可通过这一档的数据。
\(k=4\) 以及 \(k=5\) 的随机数据时，最大的海报依然要贴在角落，但是直接枚举每张海报的坐标已经不能忍受了，于是我们考虑如何对他进行优化。不难发现，最优的情况下，每张海报至少有两条边要贴着墙边或者之前某张海报的边缘。证明考虑反证法，假如不是最优，那么朝着某个方向平移到边上必然不会更劣而可能更优，假设不成立。因此每次都要贴着边缘走，然后任意时刻至多 \(4k+4\) 条边缘直线，每条直线长度至多 \(100\) 还不满，因此如果采用搜索的方式实现就能通过这一档。
\(k=5\) 的非随机数据，如果搜索不够优秀，那么你可能会在不优的地方深挖下去导致超时，所以我们需要适当进行更多的剪枝。首先我们需要最优性剪枝，如果当前面积加上后面所有海报面积之和还没有超过当前最优答案，直接剪掉。然后我们用 set 去维护每条边缘，加速查询。枚举和搜索需要注意搜索序，优秀的搜索序可以使最优性剪枝的效果更加显著。当然还有一些技巧，需要根据自己的程序实现进行优化。
综合以上可以获得满分。
ring
考场思路修改打标记，询问直接查询区间内所有点，复杂度 \(\mathcal O(qn)\)。
修改打标记，询问查所有环对这个区间的贡献，需要二分查找和前缀和，复杂度 \(\mathcal O(mn \log n)\)。
两者很不平衡，考虑分别操作，为了方便，我们假设 \(n,m,q\) 同数量级。把环大小超过和不超过 \(B\) 的环分别称作大环和小环。大环数量不会超过 \(\frac{n}{B}\)。
对小环的操作：暴力移位，维护区间和。树状数组维护：修改 \(\mathcal O(B \log n)\)，查询 \(\mathcal O(\log n)\)，很不平衡。改为分块：修改 \(\mathcal O(B)\)，查询 \(\mathcal O(B + \frac{n}{B})\)。
对大环的操作：同样维护环上前缀和，修改 \(\mathcal O(1)\)，查询 \(\mathcal O(\frac{n}{B} \log n)\)。\(B\) 取 \(\mathcal O(\sqrt {n \log n})\) 达到最优，复杂度为 \(\mathcal O(n\sqrt{n \log n})\)。
然而复杂度不对。我们发现对大环的操作仍然很不平衡。如果要优化二分查找，需要 \(\mathcal O(\frac{n^2}{B})\) 的空间。在 \(\text{32MB}\) 下，这是不现实的。但是我们可以离线！我们对于每个大环，跑所有询问，预处理每个位置的 \(\rm{lower\_bound}\)。那么只需要 \(\mathcal O(n)\) 的空间即可优化这个二分。取时间复杂度降为 \(\mathcal O(n\sqrt n)\)。（还是可以在线做，对于每个块，维护经历大环的移动后，块内该大环最右边和最左边的点被移动到了什么位置，同样用前缀和即可查询，复杂度 \(\mathcal O(n \sqrt n)\)）。
