CF1913C Game with Multiset 题解

翻译

初始时你有一个空序列，共 \(m\) 次操作，每次操作读入两个数 \(t_i\)，\(v_i\)，分为以下两种操作：

1. 当 \(t_i=1\) 时，在空序列中加入 \(2^{v_i}\) 这一元素。（此时 \(0 \le v_i \le 29\)）
2. 当 \(t_i=2\) 时，询问是否存在：取当前序列的某些元素，使它们的的和等于 \(v_i\)（此时 \(0 \le v_i \le 10^9\)）。若存在输出 YES，否则输出 NO。

思路

学过倍增求 LCA 的人都知道，每次倍增向上跳时的，会选择从大到小跳。在本题中，当判断是否存在时，从大到小判断选择的数，与倍增求 LCA 有异曲同工之妙。

最开始本来打算用一个数组 \(q\) 存值，然后每次询问时从大到小暴力查询，假设当前数组中有 \(k\) 个数，则单次复杂度为 \(O(k)\)，明显复杂度不够优秀（吃了一发 TLE）。

转变思路，对于每个操作一，考虑用 \(q\) 存 \(v_i\) 的数量。再通过前面的小结论，每次查询时，通过查询出当前 \(v_i\) 可减去的最大 \(x \times 2^j\)，\(j\) 表示当前枚举到的幂次，\(x\)（\(1 \le x \le q_j\)）表示对应的倍数。

然后自信提交后又 TLE 了。

再次发现虽然幂次只有 \(30\)。但 \(q_j\) 可能会很大，单次枚举任然有极高的复杂度，所以这里直接使用二分枚举。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#define mod 998244353
#define ll long long
#define fr(i , a , b) for(ll i = a ; i <= b ; ++i)
#define fo(i , a , b) for(ll i = a ; i >= b ; --i)
using namespace std;
//priority_queue <ll> q;
//priority_queue <ll , vector<ll> , greater<ll>> q;
inline ll QuickPow(ll a , ll b)
{
    if(a == 1 || b == 0)
    {
        return 1;
    }
    ll k = QuickPow(a , b >> 1);
    if(b & 1)
    {
        return k * k * a;
    }
    return k * k;
}
ll m , opt , x;
ll q[100005] , top;
ll max_num;
signed main()
{
    // freopen("in.in" , "r" , stdin);
    // freopen("out.out" , "w" , stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> m;
    while(m--)
    {
        cin >> opt >> x;
        if(opt == 1)
        {
            q[x]++;
            max_num += QuickPow(2 , x);
        }
        else
        {
            if(x > max_num)
            {
                cout << "NO" << '\n';
                continue;
            }
            fo(i , 29 , 0)
            {
                if(!q[i])
                {
                    continue;
                }
                ll l = 0 , r = q[i] , ans = 0;
                ll mid;
                ll now = QuickPow(2 , i);
                while(l <= r)
                {
                    mid = (l + r) / 2;
                    if(now * mid > x)
                    {
                        r = mid - 1;
                    }
                    else
                    {
                        ans = mid;
                        l = mid + 1;
                    }
                }
                x -= now * ans;
                if(x <= 0)
                {
                    break;
                }
            }
            if(x == 0)
            {
                cout << "YES" << '\n';
            }
            else
            {
                cout << "NO" << '\n';
            }
        }
    }
    return 0;
}