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不管是怎样的保险产品，人们总是最为关心它的现金流，而现金流的变化无外乎时间和金额。在只考虑单位金额的情况下，时间的变化规律就显得格外重要了。
首先，保险金的给付时间和保险的种类有关。不同的保险期限，不同的给付条件，都影响了保险金的给付时间；其次，是期末给付还是立即给付也会对其产生影响。期末给付是指在发生保险事故后在当期的期末支付保险金。如果以一个自然年为一期，被保险人在年中死亡，但是需要等到年末才能拿到保险金，而立即给付则是在保险事故发生之后马上（实际上也会等一段时间）拿到保险金。
寿险产品是以被保险人在保险期间内生存或死亡为条件进行给付。若计算目前为 \(x\) 岁的人持有保险的精算现值，那么他的剩余寿命 \(T_x\) 就是立即给付是保险金的支付时间。令 \(K_x = \lfloor T_x \rfloor\)，那么 \(K_x + 1\) 就是期末给付时保险金的支付时间。此时，期末给付现值 \(PV = v^{K_x + 1}\)，立即给付现值：\(\overline {PV} = v^{T_x}\). 它们都是随机变量。
以下会先将终身寿险、定期寿险、生存保险、两全保险的现金流用线段图表示出来，然后给出对应的现值和其期望、方差的表达式，最后讨论这些现值期望之间的关系。
准备
一、假设
- 保险金额（sum assured）始终为1
- 保险人在 \(x\) 岁时购买保险
二、给付时间的概率密度函数
期末给付
一、终身寿险
终身寿险（whole life insurance）在被保险人死亡时支付保险金，其现金流情况如下：
图中的箭头并不是进行了实际支付，只是表明了支付可能发生的时间点。（下同）
此时，现值
\[PV_1 = v^{K_x + 1} \; , \qquad K_x \ge 0
\]
期望
\[A_x = E~[PV_1] = E~[v^{K_x + 1}] = \sum_{k=0}^ \infty v^{k+1}P \{K_x = k \} = \sum_{k=0}^ \infty v^{k+1}{_{k|}q_x}
\]
方差
\[\begin{align}
Var~[PV_1] & = E~[PV_1^2] - E^2~[PV_1] \\[2ex]
& = E~[(v^{K_x + 1})^2] - (A_x)^2 \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^ \infty (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - (A_x)^2 \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^ \infty (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - (A_x)^2 \\[2ex]
& = {^2A_x} - (A_x)^2 \\
\end{align}
\]
\(^2A_x\) 表示利率为 \((1+i)^2 - 1\) 时终身寿险的现值期望，类似的表示方法之后还会用到。
二、定期寿险
定期寿险（term insurance）也是在被保险人死亡时支付保险金，但是不同于终生寿险，它的保险期间是有限的。对应的现金流如下图：
现值
\[PV_2 =
\begin{cases}
v^{K_x + 1}, & \text{ if $K_x \lt n$ } \\[2ex]
0， & \text{ if $K_x \ge n$ }
\end{cases}\]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 = E~[PV_2] = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x} + \sum_{k = n}^ \infty 0 \cdot {_{k|}q_x} = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x}
\]
方差
\[\begin{align}
Var~[PV_2] & = E~[PV_2^2] - E^2~[PV_2] \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^{n-1} (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^{n-1} (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\[2ex]
& = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2 \\
\end{align}
\]
三、生存保险
生存保险（pure endowment insurance）在被保险人活过约定的时间点时进行支付，它可能的支付时点只有一个：
现值
\[PV_3 =
\begin{cases}
0, & \text{if $K_x \lt n$} \\[2ex]
v^n, & \text{if $K_x \ge n$}
\end{cases}
\]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1}= E~[PV_3] = v^{n}{_np_x}
\]
方差
\[\begin{align}
Var~[PV_3] &= E~[PV_3^2] - E^2~[PV_3^2] \\[2ex]
& = (v^n)^2{_np_x} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1} \right)^2 \\[2ex]
& = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1}} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} ^{\quad 1} \right)^2 \\
\end{align}
\]
四、两全保险
两全保险（endowment insurance）在约定的时间点之前死亡或者活过约定的时间点都会给付保险金：
红色箭头包含了两种可能的支付，一种是被保险人在时段 \((n-1,n)\) 死亡，一种是被保险人活过了时点 \(n\).
现值
\[PV_4 =
\begin{cases}
v^{K_x + 1}, & \text{if $K_x \lt n$} \\[2ex]
v^n, & \text{if $K_x \ge n$}
\end{cases}
\]
期望
\[A_{x : \enclose{actuarial}{n}} = E~[PV_4] = \sum_{k = 0}^{n-1} v^{k + 1}{_{k|}q_x} + v^{n}{_np_x}
\]
方差
\[\begin{align}
Var~[PV_4] & = E~[PV_4^2] - E^2~[PV_4] \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^{n-1} (v^{k+1})^2~{_{k|}q_x} - (v^n)^2 \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2 \\[2ex]
& = \sum_{k=0}^{n-1} (v^2)^{k+1}~{_{k|}q_x} - \left( A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2 \\[2ex]
& = {^2A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} - \left(A_{x : \enclose{actuarial}{n}}\right)^2 \\
\end{align}
\]
立即给付
与期末给付相比，立即给付的支付时间由 \(K_x + 1\) 变为了 \(T_x\)，也就是说从离散随机变为连续随机变量。相应地，求和符号也变成了积分符号。
一、终身寿险
现值
\[\overline {PV}_1 = v^{T_x} \; , \qquad T_x \ge 0
\]
期望
\[\bar A_x = \int_0^\infty v^t f_{T_x}(t)dt = \int_0^ \infty v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt
\]
方差
\[\bar A_x = {^2 \bar A_x} - (\bar A_x)^2
\]
二、定期寿险
现值
\[\overline {PV}_2 =
\begin{cases}
v^{T_x} , & \text{ if $T_x \lt n$} \\[2ex]
0 , & \text{ if $T_x \ge n$}
\end{cases}
\]
期望
\[\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 = \int_0^n v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt
\]
方差
\[Var~[\overline {PV}_2] = {^2 \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} - \left ( \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\right)^2
\]
三、生存保险
对于生存保险来说期末给付和立即给付没有区别。
四、两全保险
现值
\[\overline {PV}_4 =
\begin{cases}
v^{T_x} , & \text{ if $T_x \lt n$} \\[2ex]
v^n , & \text{ if $T_x \ge n$}
\end{cases}
\]
期望
\[\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} = \int_0^n v^t{_tp_x} \mu_{x+t}dt + v^n{_np_x}
\]
方差
\[Var~[\overline {PV}_4] = {^2 \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} - \left ( \bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \right)^2
\]
一些精算现值之间的关系
确定这些精算现值的关系主要是因为生命表空间有限，只列出了部分精算现值——\(A_{x}, \; (IA)_x\)，通常需要通过转化到这些已列出的精算现值上进行计算。
-
对于两全保险，有
-
\({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} = {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} + {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
-
\({\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}} = {\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} + {A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
这相当于把两全保险拆分成了一个定期寿险和一个生存保险。要计算上面的两个精算现值还需要解决两个问题，一是如何计算 \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) ，二是如何计算 \({\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) 。
-
对于定期寿险（期末给付），有
- \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} = A_{x} - v^{n}{_np_x}A_{x+n}\)
这里用两个终身寿险构造出了一个定期寿险的现金流。
-
对分 \(m\) 期给付精算现值的近似
- \(A_{x}^{(m)} = {i \over i^{(m)}}A_{x}\)
-
对立即给付精算现值的近似
-
假设1：
-
\(\bar A_x \cong (1+i)^{\frac 12} A_x\)
-
\(\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1 \cong (1+i)^{\frac 12} A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1\)
-
\(\bbox[4px,border:1px solid black] {\bar A_{x : \enclose{actuarial}{n}} \cong (1+i)^{\frac 12} A_{x : \enclose{actuarial}{n}} + A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^{\quad 1}}\)
-
假设2：
思考：是否有如下关系
\[1+\frac 12 i ~ \cong (1+i)^{\frac 12} ~ \cong ~ \frac i \delta
\]
注意：这些精算现值之间的关系并不代表它们所对应的随机变量之间的关系，因为两个随机变量的期望相等并不能推出它们本身相等。事实上，它们一般是不等的。在计算 \({A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1}\) 时我们有
\[{A_{x : \enclose{actuarial}{n}}^1} = A_{x} - v^{n}{_np_x}A_{x+n}
\]
但是并没有
\[PV_{2} = v^{K_{x}+1} - v^{n}{_np_x}v^{K_{x+n}+1}
\]
正确关系应该是
\[PV_{2} = \begin{cases}
v^{K_{x}+1}, & K_{x} \lt n\\[2ex]
v^{K_{x}+1} - v^{n}v^{K_{x+n}+1} & K_{x} \ge n
\end{cases}\]
实际上 \(v^{K_{x}+1} - v^{n}v^{K_{x+n}+1} = 0\)，与之前的随机变量表达式一样。
