数学建模笔记（二）

题目：某航空物流公司每天向其一货物中转站发送三架飞机，飞机在05:00—20:00内任意时刻到达。当货机到达时，货物通过装卸台吊装到飞机上。装卸台的容量是一架半货机，一架货机要用3小时装满。规定货物装载必须经由装卸台。第一个工作组需要6小时装满装卸台，可以启用第二个工作组提高速度，他们的费用分别为9000元/小时和12000元/小时。出于安全考虑，当往装卸台装货时，不能往货机上装货。每当由于往装卸台装货而中断往货机上装货时，需征收15000元/小时架的停机费。建立合理的装货安排模型来选择最佳方案使费用少。

主要符号和变量说明

\(T_1\)：工作组1总工作时间

\(T_2\)：工作组2总工作时间

\(T_3\)：飞机总等待时间

\(N\)：服务的总飞机数

\(S_k\)：飞机 \(k\) 的到达时刻，\(k = 1,2,3, \ldots ,N\)

\(L_0\)：初始时刻

\(L_k\)：飞机 \(k\) 的离开时刻，\(k = 1,2, 3,\ldots ,N\)

\(P_0\)：装卸台初始货物量

\(P_k\)：飞机 \(k\) 离开时装卸台的货物量，\(k = 1,2, 3,\ldots ,N\)

\((x_k,y_k)\)：工作组1的工作区间，\(k = 1,2,3, \ldots , N\)

\((u_k,v_k)\)：工作组2的工作区间，\(k = 1,2,3, \ldots , N\)

目标函数

\[\min: 9000T_1+12000T_2+15000T_3 \]

其中：
\(T_1 = \sum_{k = 1}^ N (y_k-x_k)\)，\(T_2 = \sum_{k = 1}^ N (v_k-u_k)\)，\(T_3 = \sum_{k= 1}^N (L_k-S_k)-3N\)

决策变量

\(L_k，k = 0,1,2, \ldots ,N\)

\(P_k，k = 0,1,2, \ldots , N\)

\(x_k，k = 1,2,3, \ldots , N\)

\(y_k，k = 1,2,3, \ldots , N\)

\(u_k，k = 1,2,3, \ldots , N\)

\(v_k，k = 1,2,3, \ldots , N\)

约束条件

1. 将初始时刻设置为 \(0\)：

\[L_0 = 0 \]

2. 假设装卸台初始货物量服从均匀分布：

\[P_0 \sim U \left(0, \frac{3}{2} \right) \]

3. 由于往装卸台装货物时不能往飞机上装货物，所以可以假设仅在飞机离开之前的连续时间段内往飞机上装货。也就是说要等装卸台至少有一个货机的货物量时才开始装货。在这种情况下，飞机离开时装卸台的货物量至多为半个货机：

\[0 \le P_1,P_2, \ldots ,P_N \le \frac{1}{2} \]

4. 飞机离开后，装卸台货物量不足一个货机，需要调用工作组补充。在第一个工作组和第二个工作组工作效率相同的假设下，第二个工作组不能单独工作。在下一架货机离开前的三小时内由于在往货机上装货，所以不能往装卸台上装货：

\[L_{k-1} = x_k \le u_k \le v_k\le y_k \le L_k-3 \qquad k = 1,2,3, \ldots ,N \]

5. 第一个工作组和第二个工作组在一个可上货区间内的累计工作量与该区间端点装卸台货物量之间的关系：

\[P_k +1 = \frac{(y_k-x_k)+(v_k-u_k)}{4} + P_{k-1} \qquad k = 1,2,3, \ldots ,N \]

6. 先到先服务，前面一架客机离开后，需要等待装卸台的货物量恢复为1+。另需3小时装填货物：

\[4(1 - P_{k-1}) + 3 \le L_{k} - L_{k-1} \qquad k = 1,2,3, \ldots ,N \]

7. 飞机在机场停留至少3小时（装填货物的最短时间）：

\[3 \le L_k-S_k，k = 1,2,3, \ldots ,N \]